Число x удовлетворяет условиям tg2x=-(3)/(4), sin 2x>0. Обязательно ли при этих условиях определено выражение _(tg(pi)/(6))tgx и чему оно тогда равно?

Сначала определим, в какой четверти лежит угол 2x. По условию sin 2x>0, а tg2x=-(3)/(4)<0; поскольку tg2x=(sin 2x)/(cos 2x), при положительном синусе тангенс отрицателен лишь когда cos 2x<0. Итак, sin 2x>0, cos 2x<0, то есть угол 2x (с точностью до периода 2pi) лежит во второй четверти: (pi)/(2)+2pi k<2x<pi+2pi k, kinZ. Разделив на 2, получаем для самого x: (pi)/(4)+pi k<x<(pi)/(2)+pi k, kinZ. На каждом таком промежутке tgx строго положителен (это первая четверть с точностью до периода pi), причём tgx>tg(pi)/(4)=1. Уже отсюда видно, что tgx существует и положителен. Теперь найдём tgx. Положим t=tgx. По формуле тангенса двойного угла tg2x=(2t)/(1-t^(2))=-(3)/(4). Отсюда -3(1-t^(2))=8t, то есть 3t^(2)-8t-3=0, t=(8+-sqrt(64+36))/(6)=(8+- 10)/(6). Получаем два корня: t=3 и t=-(1)/(3). Из доказанного выше неравенства tgx>1 второй корень -(1)/(3) невозможен, поэтому tgx=3. (Корень t=-13 отвечает случаю sin 2x<0, который условием исключён: при tgx=-13 угол 2x попадает в четвёртую четверть.) Заметим, что выбор корня однозначен при любом допустимом x: какое бы целое k ни взять, для всех x из найденных промежутков получается одно и то же значение tgx=3. Значит, ответ не зависит от того, какое именно x удовлетворяет условиям, — выражение определено обязательно. Осталось вычислить логарифм. Основание равно tg(pi)/(6)=(1)/(sqrt(3))=3^(-1/2). Оно положительно и отлично от 1, а число под логарифмом tgx=3>0; следовательно, выражение _(tg(pi)/(6))tgx определено. Вычисляем: _(tg(pi)/(6))tgx=_(3^(-1/2))3=(ln 3)/(ln 3^(-1/2))=(ln 3)/(-12ln 3)=-2. То же короче: если 3^(-1/2)=a, то 3=a^(-2), значит _a 3=-2. Итак, при заданных условиях выражение _(tg(pi)/(6))tgx обязательно определено и равно -2.

Обязательно определено и равно \(-2\)