Число x удовлетворяет условиям
tg2x=−43,sin2x>0.Обязательно ли при этих условиях определено выражение logtg6πtgx и чему оно тогда равно?
Сначала определим, в какой четверти лежит угол 2x. По условию sin2x>0, а tg2x=−43<0; поскольку tg2x=cos2xsin2x, при положительном синусе тангенс отрицателен лишь когда cos2x<0. Итак,
sin2x>0,cos2x<0,то есть угол 2x (с точностью до периода 2π) лежит во второй четверти:
2π+2πk<2x<π+2πk,k∈Z.Разделив на 2, получаем для самого x:
4π+πk<x<2π+πk,k∈Z.На каждом таком промежутке tgx строго положителен (это первая четверть с точностью до периода π), причём tgx>tg4π=1. Уже отсюда видно, что tgx существует и положителен.
Теперь найдём tgx. Положим t=tgx. По формуле тангенса двойного угла
tg2x=1−t22t=−43.Отсюда −3(1−t2)=8t, то есть
3t2−8t−3=0,t=68±64+36=68±10.Получаем два корня: t=3 и t=−31. Из доказанного выше неравенства tgx>1 второй корень −31 невозможен, поэтому
tgx=3.(Корень t=−31 отвечает случаю sin2x<0, который условием исключён: при tgx=−31 угол 2x попадает в четвёртую четверть.)
Заметим, что выбор корня однозначен при любом допустимом x: какое бы целое k ни взять, для всех x из найденных промежутков получается одно и то же значение tgx=3. Значит, ответ не зависит от того, какое именно x удовлетворяет условиям, — выражение определено обязательно.
Осталось вычислить логарифм. Основание равно
tg6π=31=3−1/2.Оно положительно и отлично от 1, а число под логарифмом tgx=3>0; следовательно, выражение logtg6πtgx определено. Вычисляем:
logtg6πtgx=log3−1/23=ln3−1/2ln3=−21ln3ln3=−2.То же короче: если 3−1/2=a, то 3=a−2, значит loga3=−2.
Итак, при заданных условиях выражение logtg6πtgx обязательно определено и равно −2.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
Мехмат МГУ (архив)