Найти все значения параметра alphain[-(pi)/(2),(pi)/(2)], для каждого из которых уравнение sin 2x+sin x+sin(x-alpha)=+sin(x+alpha) имеет ровно 5 различных корней на промежутке [-(7)/(4)pi,(5)/(4)pi].

**1. Преобразование уравнения.** Перенесём всё в левую часть: sin 2x+sin x+sin(x-alpha)--sin(x+alpha)=0. По формуле разности синусов sin(x-alpha)-sin(x+alpha)=-2cos x, поэтому уравнение приводится к виду sin 2x+sin x-2cos x-=0. Сгруппируем, используя sin 2x=2sin xcos x: sin x(2cos x+1)-(2cos x+1)=0, то есть (sin x-)(2cos x+1)=0. Уравнение распадается на два независимых: (A) sin x=, (B) cos x=-12. **2. Промежуток.** Корни ищем на отрезке I=[-(4pi)/(3);(5pi)/(4)] (см. примечание в самопроверке о записи левого конца). Длина I равна (5pi)/(4)+(4pi)/(3)=(31pi)/(12), что чуть больше чем 2pi, поэтому в I попадают «основные» решения каждой серии и часть соседних. **3. Серия (B): cos x=-12.** Эта серия от alpha не зависит: x=+-(2pi)/(3)+2pi k. На I лежат ровно три значения: x=-(4pi)/(3), x=-(2pi)/(3), x=(2pi)/(3). (Значение x=-(4pi)/(3) совпадает с левым концом отрезка и потому включается; следующее x=(4pi)/(3)>(5pi)/(4) уже вне I.) Итак, серия (B) всегда даёт **3 корня**. **4. Серия (A): sin x=, где alphain[-(pi)/(2);(pi)/(2)].** Общее решение x=alpha+2pi k или x=pi-alpha+2pi k. Выясним, какие из них попадают в I=[-(4pi)/(3);(5pi)/(4)] при alphain[-(pi)/(2);(pi)/(2)]. - x_1=alpha: при alphain[-(pi)/(2);(pi)/(2)] это всегда внутри I — присутствует **всегда**. - x_2=-pi-alpha (это pi-alpha-2pi): при alpha<=(pi)/(2) имеем x_2<=-(pi)/(2)<=(5pi)/(4), а условие x_2>=-(4pi)/(3) даёт -pi-alpha>=-(4pi)/(3)<=> alpha<=(pi)/(3). Значит x_2in I **тогда и только тогда, когда alpha<=(pi)/(3)** (при alpha=(pi)/(3) точка x_2=-(4pi)/(3) попадает на левый конец). - x_3=pi-alpha: условие pi-alpha<=(5pi)/(4)<=> alpha>=-(pi)/(4). Значит x_3in I **тогда и только тогда, когда alpha>=-(pi)/(4)** (при alpha=-(pi)/(4) точка x_3=(5pi)/(4) попадает на правый конец). - Остальные представители (alpha-2pi, alpha+2pi, 3pi-alpha и т.д.) при alphain[-(pi)/(2);(pi)/(2)] выходят за I: например alpha-2pi>=-(4pi)/(3) требует alpha>=(2pi)/(3), что невозможно. **5. Совпадения корней.** Нужно учесть, что корни серий (A) и (B), а также корни серии (A) между собой, могут совпасть. Серия (A) с серией (B): приравниваем кандидатов x_2,x_3 к -(4pi)/(3),-(2pi)/(3),(2pi)/(3). x_2=-pi-alpha=-(2pi)/(3) => alpha=-(pi)/(3); x_2=-pi-alpha=-(4pi)/(3) => alpha=(pi)/(3); x_3=pi-alpha=(2pi)/(3) => alpha=(pi)/(3). Кандидат x_1=alpha при alphain[-(pi)/(2);(pi)/(2)] ни с одним корнем (B) не совпадает. Внутри серии (A): x_1=x_2<=>alpha=-pi-alpha<=>alpha=-(pi)/(2); x_1=x_3<=>alpha=pi-alpha<=>alpha=(pi)/(2). **6. Подсчёт числа различных корней.** Серия (B) фиксированно даёт 3 корня; добавляем новые (несовпадающие) корни серии (A). Разберём промежуток [-(pi)/(2);(pi)/(2)] по точкам -(pi)/(2),-(pi)/(3),-(pi)/(4),(pi)/(3),(pi)/(2). | alpha | корни (A) в I (различные) | совпадения | всего корней | |---|---|---|---| | alpha=-(pi)/(2) | x_1=x_2=-(pi)/(2) — слипаются; x_3 нет (alpha<-(pi)/(4)) | — | 3+1=4 | | (-(pi)/(2);-(pi)/(3)) | x_1,x_2 различны; x_3 нет | нет с (B) | 3+2=5 | | alpha=-(pi)/(3) | x_1,x_2; но x_2=-(2pi)/(3)in(B) | x_2 слился с (B) | 3+1=4 | | (-(pi)/(3);-(pi)/(4)) | x_1,x_2 различны; x_3 нет | нет с (B) | 3+2=5 | | alpha=-(pi)/(4) | x_1,x_2,x_3 (x_3=(5pi)/(4) на конце) | нет | 3+3=6 | | (-(pi)/(4);(pi)/(3)) | x_1,x_2,x_3 все есть и различны | нет с (B) | 3+3=6 | | alpha=(pi)/(3) | x_2=-(4pi)/(3)in(B), x_3=(2pi)/(3)in(B) | оба слились с (B) | 3+1=4 | | ((pi)/(3);(pi)/(2)) | x_2 вне I (alpha>(pi)/(3)); есть x_1,x_3 | нет с (B) | 3+2=5 | | alpha=(pi)/(2) | x_1=x_3=(pi)/(2) — слипаются; x_2 вне | — | 3+1=4 | **7. Итог.** Ровно 5 различных корней получается в точности на открытых промежутках alphain(-(pi)/(2);-(pi)/(3))U(-(pi)/(3);-(pi)/(4))U((pi)/(3);(pi)/(2)). Граничные значения -(pi)/(2),-(pi)/(3),-(pi)/(4),(pi)/(3),(pi)/(2) не входят: в них число корней равно 4 или 6 из-за слияния корней либо появления третьего корня серии (A) на конце отрезка.

\(\left(-\dfrac{\pi}{2};-\dfrac{\pi}{3}\right)\cup\left(-\dfrac{\pi}{3};-\dfrac{\pi}{4}\right)\cup\left(\dfrac{\pi}{3};\dfrac{\pi}{2}\right)\)