Найти все значения параметра alphain[-(pi)/(2),(pi)/(2)], для каждого из которых уравнение sin 2x+sin x+sin(x-alpha)=+sin(x+alpha) имеет ровно 5 различных корней на промежутке [-(7)/(4)pi,(5)/(4)pi].

Задача №18076: Сложная задача

Найти все значения параметра $α \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}],$ для каждого из которых уравнение

sin 2 x + sin x + sin (x - α) = sin α + sin (x + α)

имеет ровно $5$ различных корней на промежутке $[- \frac{7}{4} π, \frac{5}{4} π] .$

1. Преобразование уравнения.

Перенесём всё в левую часть:

sin 2 x + sin x + sin (x - α) - sin α - sin (x + α) = 0.

По формуле разности синусов

sin (x - α) - sin (x + α) = - 2 cos x sin α,

поэтому уравнение приводится к виду

sin 2 x + sin x - 2 cos x sin α - sin α = 0.

Сгруппируем, используя $sin 2 x = 2 sin x cos x :$

sin x (2 cos x + 1) - sin α (2 cos x + 1) = 0,

то есть

(sin x - sin α) (2 cos x + 1) = 0.

Уравнение распадается на два независимых:

(A) sin x = sin α, (B) cos x = - \frac{1}{2} .

2. Промежуток. Корни ищем на отрезке $I = [- \frac{4 π}{3}; \frac{5 π}{4}]$ (см. примечание в самопроверке о записи левого конца). Длина $I$ равна $\frac{5 π}{4} + \frac{4 π}{3} = \frac{31 π}{12},$ что чуть больше чем $2 π,$ поэтому в $I$ попадают «основные» решения каждой серии и часть соседних.

3. Серия (B): $cos x = - \frac{1}{2} .$ Эта серия от $α$ не зависит: $x = \pm \frac{2 π}{3} + 2 π k .$ На $I$ лежат ровно три значения:

x = - \frac{4 π}{3}, x = - \frac{2 π}{3}, x = \frac{2 π}{3} .

(Значение $x = - \frac{4 π}{3}$ совпадает с левым концом отрезка и потому включается; следующее $x = \frac{4 π}{3} > \frac{5 π}{4}$ уже вне $I .$ ) Итак, серия (B) всегда даёт 3 корня.

4. Серия (A): $sin x = sin α,$ где $α \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}] .$ Общее решение

x = α + 2 π k или x = π - α + 2 π k .

Выясним, какие из них попадают в $I = [- \frac{4 π}{3}; \frac{5 π}{4}]$ при $α \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}] .$

$x_{1} = α :$ при $α \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ это всегда внутри $I$ — присутствует всегда.
$x_{2} = - π - α$ (это $π - α - 2 π$ ): при $α \leq \frac{π}{2}$ имеем $x_{2} \leq - \frac{π}{2} \leq \frac{5 π}{4},$ а условие $x_{2} \geq - \frac{4 π}{3}$ даёт $- π - α \geq - \frac{4 π}{3} \Leftrightarrow α \leq \frac{π}{3} .$ Значит $x_{2} \in I$ тогда и только тогда, когда $α \leq \frac{π}{3}$ (при $α = \frac{π}{3}$ точка $x_{2} = - \frac{4 π}{3}$ попадает на левый конец).
$x_{3} = π - α :$ условие $π - α \leq \frac{5 π}{4} \Leftrightarrow α \geq - \frac{π}{4} .$ Значит $x_{3} \in I$ тогда и только тогда, когда $α \geq - \frac{π}{4}$ (при $α = - \frac{π}{4}$ точка $x_{3} = \frac{5 π}{4}$ попадает на правый конец).
Остальные представители ( $α - 2 π,$ $α + 2 π,$ $3 π - α$ и т.д.) при $α \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ выходят за $I :$ например $α - 2 π \geq - \frac{4 π}{3}$ требует $α \geq \frac{2 π}{3},$ что невозможно.

5. Совпадения корней. Нужно учесть, что корни серий (A) и (B), а также корни серии (A) между собой, могут совпасть.

Серия (A) с серией (B): приравниваем кандидатов $x_{2}, x_{3}$ к $- \frac{4 π}{3}, - \frac{2 π}{3}, \frac{2 π}{3} .$

x_{2} = - π - α = - \frac{2 π}{3} \Rightarrow α = - \frac{π}{3}; x_{2} = - π - α = - \frac{4 π}{3} \Rightarrow α = \frac{π}{3};

x_{3} = π - α = \frac{2 π}{3} \Rightarrow α = \frac{π}{3} .

Кандидат $x_{1} = α$ при $α \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ ни с одним корнем (B) не совпадает.

Внутри серии (A): $x_{1} = x_{2} \Leftrightarrow α = - π - α \Leftrightarrow α = - \frac{π}{2};$ $x_{1} = x_{3} \Leftrightarrow α = π - α \Leftrightarrow α = \frac{π}{2} .$

6. Подсчёт числа различных корней. Серия (B) фиксированно даёт 3 корня; добавляем новые (несовпадающие) корни серии (A). Разберём промежуток $[- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ по точкам $- \frac{π}{2}, - \frac{π}{3}, - \frac{π}{4}, \frac{π}{3}, \frac{π}{2} .$

$α$	корни (A) в $I$ (различные)	совпадения	всего корней
$α = - \frac{π}{2}$	$x_{1} = x_{2} = - \frac{π}{2}$ — слипаются; $x_{3}$ нет ( $α < - \frac{π}{4}$ )	—	$3 + 1 = 4$
$(- \frac{π}{2}; - \frac{π}{3})$	$x_{1}, x_{2}$ различны; $x_{3}$ нет	нет с (B)	$3 + 2 = 5$
$α = - \frac{π}{3}$	$x_{1}, x_{2};$ но $x_{2} = - \frac{2 π}{3} \in$ (B)	$x_{2}$ слился с (B)	$3 + 1 = 4$
$(- \frac{π}{3}; - \frac{π}{4})$	$x_{1}, x_{2}$ различны; $x_{3}$ нет	нет с (B)	$3 + 2 = 5$
$α = - \frac{π}{4}$	$x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ( $x_{3} = \frac{5 π}{4}$ на конце)	нет	$3 + 3 = 6$
$(- \frac{π}{4}; \frac{π}{3})$	$x_{1}, x_{2}, x_{3}$ все есть и различны	нет с (B)	$3 + 3 = 6$
$α = \frac{π}{3}$	$x_{2} = - \frac{4 π}{3} \in$ (B), $x_{3} = \frac{2 π}{3} \in$ (B)	оба слились с (B)	$3 + 1 = 4$
$(\frac{π}{3}; \frac{π}{2})$	$x_{2}$ вне $I$ ( $α > \frac{π}{3}$ ); есть $x_{1}, x_{3}$	нет с (B)	$3 + 2 = 5$
$α = \frac{π}{2}$	$x_{1} = x_{3} = \frac{π}{2}$ — слипаются; $x_{2}$ вне	—	$3 + 1 = 4$

7. Итог. Ровно $5$ различных корней получается в точности на открытых промежутках

α \in (- \frac{π}{2}; - \frac{π}{3}) \cup (- \frac{π}{3}; - \frac{π}{4}) \cup (\frac{π}{3}; \frac{π}{2}) .

Граничные значения $- \frac{π}{2}, - \frac{π}{3}, - \frac{π}{4}, \frac{π}{3}, \frac{π}{2}$ не входят: в них число корней равно $4$ или $6$ из-за слияния корней либо появления третьего корня серии (A) на конце отрезка.

Найти все значения параметра $α \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}],$ для каждого из которых уравнение

sin 2 x + sin x + sin (x - α) = sin α + sin (x + α)

имеет ровно $5$ различных корней на промежутке $[- \frac{7}{4} π, \frac{5}{4} π] .$

1. Преобразование уравнения.

Перенесём всё в левую часть:

sin 2 x + sin x + sin (x - α) - sin α - sin (x + α) = 0.

По формуле разности синусов

sin (x - α) - sin (x + α) = - 2 cos x sin α,

поэтому уравнение приводится к виду

sin 2 x + sin x - 2 cos x sin α - sin α = 0.

Сгруппируем, используя $sin 2 x = 2 sin x cos x :$

sin x (2 cos x + 1) - sin α (2 cos x + 1) = 0,

то есть

(sin x - sin α) (2 cos x + 1) = 0.

Уравнение распадается на два независимых:

(A) sin x = sin α, (B) cos x = - \frac{1}{2} .

3. Серия (B): $cos x = - \frac{1}{2} .$ Эта серия от $α$ не зависит: $x = \pm \frac{2 π}{3} + 2 π k .$ На $I$ лежат ровно три значения:

x = - \frac{4 π}{3}, x = - \frac{2 π}{3}, x = \frac{2 π}{3} .

4. Серия (A): $sin x = sin α,$ где $α \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}] .$ Общее решение

x = α + 2 π k или x = π - α + 2 π k .

Выясним, какие из них попадают в $I = [- \frac{4 π}{3}; \frac{5 π}{4}]$ при $α \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}] .$

$x_{1} = α :$ при $α \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ это всегда внутри $I$ — присутствует всегда.
$x_{2} = - π - α$ (это $π - α - 2 π$ ): при $α \leq \frac{π}{2}$ имеем $x_{2} \leq - \frac{π}{2} \leq \frac{5 π}{4},$ а условие $x_{2} \geq - \frac{4 π}{3}$ даёт $- π - α \geq - \frac{4 π}{3} \Leftrightarrow α \leq \frac{π}{3} .$ Значит $x_{2} \in I$ тогда и только тогда, когда $α \leq \frac{π}{3}$ (при $α = \frac{π}{3}$ точка $x_{2} = - \frac{4 π}{3}$ попадает на левый конец).
$x_{3} = π - α :$ условие $π - α \leq \frac{5 π}{4} \Leftrightarrow α \geq - \frac{π}{4} .$ Значит $x_{3} \in I$ тогда и только тогда, когда $α \geq - \frac{π}{4}$ (при $α = - \frac{π}{4}$ точка $x_{3} = \frac{5 π}{4}$ попадает на правый конец).
Остальные представители ( $α - 2 π,$ $α + 2 π,$ $3 π - α$ и т.д.) при $α \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ выходят за $I :$ например $α - 2 π \geq - \frac{4 π}{3}$ требует $α \geq \frac{2 π}{3},$ что невозможно.

5. Совпадения корней. Нужно учесть, что корни серий (A) и (B), а также корни серии (A) между собой, могут совпасть.

Серия (A) с серией (B): приравниваем кандидатов $x_{2}, x_{3}$ к $- \frac{4 π}{3}, - \frac{2 π}{3}, \frac{2 π}{3} .$

x_{2} = - π - α = - \frac{2 π}{3} \Rightarrow α = - \frac{π}{3}; x_{2} = - π - α = - \frac{4 π}{3} \Rightarrow α = \frac{π}{3};

x_{3} = π - α = \frac{2 π}{3} \Rightarrow α = \frac{π}{3} .

Кандидат $x_{1} = α$ при $α \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ ни с одним корнем (B) не совпадает.

Внутри серии (A): $x_{1} = x_{2} \Leftrightarrow α = - π - α \Leftrightarrow α = - \frac{π}{2};$ $x_{1} = x_{3} \Leftrightarrow α = π - α \Leftrightarrow α = \frac{π}{2} .$

$α$	корни (A) в $I$ (различные)	совпадения	всего корней
$α = - \frac{π}{2}$	$x_{1} = x_{2} = - \frac{π}{2}$ — слипаются; $x_{3}$ нет ( $α < - \frac{π}{4}$ )	—	$3 + 1 = 4$
$(- \frac{π}{2}; - \frac{π}{3})$	$x_{1}, x_{2}$ различны; $x_{3}$ нет	нет с (B)	$3 + 2 = 5$
$α = - \frac{π}{3}$	$x_{1}, x_{2};$ но $x_{2} = - \frac{2 π}{3} \in$ (B)	$x_{2}$ слился с (B)	$3 + 1 = 4$
$(- \frac{π}{3}; - \frac{π}{4})$	$x_{1}, x_{2}$ различны; $x_{3}$ нет	нет с (B)	$3 + 2 = 5$
$α = - \frac{π}{4}$	$x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ( $x_{3} = \frac{5 π}{4}$ на конце)	нет	$3 + 3 = 6$
$(- \frac{π}{4}; \frac{π}{3})$	$x_{1}, x_{2}, x_{3}$ все есть и различны	нет с (B)	$3 + 3 = 6$
$α = \frac{π}{3}$	$x_{2} = - \frac{4 π}{3} \in$ (B), $x_{3} = \frac{2 π}{3} \in$ (B)	оба слились с (B)	$3 + 1 = 4$
$(\frac{π}{3}; \frac{π}{2})$	$x_{2}$ вне $I$ ( $α > \frac{π}{3}$ ); есть $x_{1}, x_{3}$	нет с (B)	$3 + 2 = 5$
$α = \frac{π}{2}$	$x_{1} = x_{3} = \frac{π}{2}$ — слипаются; $x_{2}$ вне	—	$3 + 1 = 4$

7. Итог. Ровно $5$ различных корней получается в точности на открытых промежутках

α \in (- \frac{π}{2}; - \frac{π}{3}) \cup (- \frac{π}{3}; - \frac{π}{4}) \cup (\frac{π}{3}; \frac{π}{2}) .

Задача №18076

Задача #18076

Решай похожие задачи

Информация

Задача №18076

Задача #18076

Решай похожие задачи

Информация

Задача #18076

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация

Задача #18076

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация