Найти все значения x, при которых наибольшее из чисел 3x-4 и _2(5* 2^(2x-4)-2^(x-1)+1) положительно.

Обозначим два сравниваемых числа A=3x-4, B=_2(5* 2^(2x-4)-2^(x-1)+1). Требуется найти все x, при которых наибольшее из них положительно. **Сведение к объединению условий.** Для любых двух чисел A и B их наибольшее (A,B) положительно тогда и только тогда, когда хотя бы одно из чисел положительно. Действительно, если положительно большее, то оно и есть максимум; обратно, если положительно хотя бы одно, то максимум не меньше его, значит тоже положителен. Поэтому искомое множество есть объединение решений неравенств A>0 и B>0. При этом неравенство B>0 имеет смысл лишь там, где определён логарифм, то есть где его аргумент положителен; проверим сначала область определения. **Область определения логарифма.** Введём подстановку t=2^(x), где t>0. Тогда 2^(2x-4)=(2^(2x))/(16)=(t^2)/(16) и 2^(x-1)=(t)/(2), так что аргумент логарифма равен g(t)=5*(t^2)/(16)-(t)/(2)+1=(5)/(16)t^2-(1)/(2)t+1. Это квадратный трёхчлен относительно t с дискриминантом D=(-12)^2-4*(5)/(16)* 1=14-54=-1<0, и старшим коэффициентом (5)/(16)>0. Значит g(t)>0 при всех t, то есть аргумент логарифма положителен при всех x, и функция B определена на всей числовой прямой. Таким образом, никаких дополнительных ограничений ОДЗ не возникает. **Условие A>0.** Неравенство 3x-4>0 равносильно x>(4)/(3). **Условие B>0.** Так как основание логарифма 2>1, неравенство _2(*)>0 равносильно тому, что аргумент больше единицы: 5* 2^(2x-4)-2^(x-1)+1>1 5* 2^(2x-4)-2^(x-1)>0. В переменной t=2^x>0 левая часть равна (5)/(16)t^2-(1)/(2)t=(t)/(16)(5t-8). Поскольку t=2^x>0, множитель (t)/(16) положителен, и неравенство сводится к 5t-8>0, то есть t>(8)/(5) 2^(x)>(8)/(5) x>_2(8)/(5). **Объединение.** Сравним границы. Поскольку (8)/(5)=1,6<2, число _2(8)/(5) лежит между 0 и 1; численно _2(8)/(5)=3-_2 5~ 0,678. С другой стороны (4)/(3)~ 1,333. Значит _2(8)/(5)<(4)/(3), и множество x>43 целиком содержится в множестве x>_285. Поэтому объединение решений A>0 и B>0 совпадает с большим из множеств: (43;+inf)U(_285;+inf)=(_285;+inf). **Проверка граничной точки.** При x=_2(8)/(5) имеем t=85, аргумент логарифма равен g(85)=1, поэтому B=_2 1=0, а A=3_285-4<0. Значит (A,B)=0 — не положительно, и точка x=_285 в ответ не входит. Чуть правее B становится положительным, чуть левее оба числа отрицательны. **Ответ.** xin(_2(8)/(5); +inf).

\(\left(\log_2\dfrac{8}{5};\ +\infty\right)\)