Задача №18074

Найти все значения $x\text{,}$ при которых наибольшее из чисел $3x-4$ и ${\log }_2\left(5\cdot 2^{2x-4}-2^{x-1}+1\right)$ положительно.

Обозначим два сравниваемых числа

Требуется найти все $x\text{,}$ при которых наибольшее из них положительно.

Сведение к объединению условий. Для любых двух чисел $A$ и $B$ их наибольшее $\max (A,B)$ положительно тогда и только тогда, когда хотя бы одно из чисел положительно. Действительно, если положительно большее, то оно и есть максимум; обратно, если положительно хотя бы одно, то максимум не меньше его, значит тоже положителен. Поэтому искомое множество есть объединение решений неравенств $A>0$ и $B>0\text{.}$ При этом неравенство $B>0$ имеет смысл лишь там, где определён логарифм, то есть где его аргумент положителен; проверим сначала область определения.

Область определения логарифма. Введём подстановку $t=2^x\text{,}$ где $t>0\text{.}$ Тогда $2^{2x-4}=\frac{2^{2x}}{16}=\frac{t^2}{16}$ и $2^{x-1}=\frac{t}{2}\text{,}$ так что аргумент логарифма равен

Это квадратный трёхчлен относительно $t$ с дискриминантом

и старшим коэффициентом $\frac{5}{16}>0\text{.}$ Значит $g(t)>0$ при всех $t\text{,}$ то есть аргумент логарифма положителен при всех $x\text{,}$ и функция $B$ определена на всей числовой прямой. Таким образом, никаких дополнительных ограничений ОДЗ не возникает.

Условие $A>0\text{.}$ Неравенство $3x-4>0$ равносильно

Условие $B>0\text{.}$ Так как основание логарифма $2>1\text{,}$ неравенство ${\log }_2(\cdot )>0$ равносильно тому, что аргумент больше единицы:

В переменной $t=2^x>0$ левая часть равна

Поскольку $t=2^x>0\text{,}$ множитель $\frac{t}{16}$ положителен, и неравенство сводится к $5t-8>0\text{,}$ то есть

Объединение. Сравним границы. Поскольку $\frac{8}{5}=1,6<2\text{,}$ число ${\log }_2\frac{8}{5}$ лежит между $0$ и $1\text{;}$ численно ${\log }_2\frac{8}{5}=3-{\log }_{2}5\approx 0,678\text{.}$ С другой стороны $\frac{4}{3}\approx 1,333\text{.}$ Значит

и множество $\left\{x>\frac{4}{3}\right\}$ целиком содержится в множестве $\left\{x>{\log }_2\frac{8}{5}\right\}\text{.}$ Поэтому объединение решений $A>0$ и $B>0$ совпадает с большим из множеств:

Проверка граничной точки. При $x={\log }_2\frac{8}{5}$ имеем $t=\frac{8}{5}\text{,}$ аргумент логарифма равен $g\left(\frac{8}{5}\right)=1\text{,}$ поэтому $B={\log }_{2}1=0\text{,}$ а $A=3{\log }_2\frac{8}{5}-4<0\text{.}$ Значит $\max (A,B)=0$ — не положительно, и точка $x={\log }_2\frac{8}{5}$ в ответ не входит. Чуть правее $B$ становится положительным, чуть левее оба числа отрицательны.

Ответ.