58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:Tf27,Требуется решить неравенство \[\frac{\sqrt[3]{7}}{\log_{x-1}17}\geqslant\frac{\log_{17}(x-1)}{\log_{291}17}.\] **Область допустимых значений.** В левой части стоит логарифм $\log_{x-1}17$ с основанием $x-1$, поэтому необходимо $x-1>0$ и $x-1\neq 1$, то есть $x>1$ и $x\neq 2$. В правой части присутствует $\log_{17}(x-1)$, что требует лишь $x-1>0$. Итого ОДЗ: \[x>1,\qquad x\neq 2.\] На этой области все логарифмы определены, а основания 17 и 291 больше единицы, так что $\log_{291}17>0$. **Сведение к одной переменной.** Введём обозначение \[u=\log_{17}(x-1).\] По свойству перехода к обратному основанию \[\log_{x-1}17=\frac{1}{\log_{17}(x-1)}=\frac1u,\] причём это выражение имеет смысл при $u\neq 0$, то есть при $x-1\neq 1$ — что как раз и обеспечено условием $x\neq 2$ из ОДЗ. Тогда левая часть превращается в \[\frac{\sqrt[3]{7}}{\log_{x-1}17}=\frac{\sqrt[3]{7}}{1/u}=\sqrt[3]{7}\cdot u.\] Правую часть преобразуем, перейдя по формуле смены основания $\dfrac{1}{\log_{291}17}=\log_{17}291$: \[\frac{\log_{17}(x-1)}{\log_{291}17}=u\cdot\log_{17}291.\] Неравенство принимает вид \[\sqrt[3]{7}\cdot u\geqslant u\cdot\log_{17}291,\] или после переноса всего влево \[u\bigl(\sqrt[3]{7}-\log_{17}291\bigr)\geqslant 0. \tag{*}\] **Знак постоянного множителя.** Сравним числа $\sqrt[3]{7}$ и $\log_{17}291$ с числом 2. Во-первых, $\sqrt[3]{7}<2$, поскольку $2^3=8>7$. Во-вторых, $\log_{17}291>2$, поскольку $17^2=289<291$, а логарифм по основанию, большему единицы, монотонно возрастает. Следовательно, \[\sqrt[3]{7}<2<\log_{17}291,\qquad\text{откуда}\qquad \sqrt[3]{7}-\log_{17}291<0.\] Множитель $c=\sqrt[3]{7}-\log_{17}291$ отрицателен. **Решение неравенства $(\ast)$.** Так как $c<0$, неравенство $u\cdot c\geqslant 0$ равносильно \[u\leqslant 0,\qquad\text{то есть}\qquad \log_{17}(x-1)\leqslant 0.\] Поскольку основание 17 больше единицы, это эквивалентно \[00\) — неравенство выполнено; точка $x=1$ не входит (граница ОДЗ). При $x\to 2^{-}$ величина $u\to 0^{-}$, $u\cdot c\to 0^{+}\geqslant 0$ — выполнено, но сама точка $x=2$ исключена. При $x>2$ получаем $u>0$, тогда $u\cdot c<0$ — неравенство не выполняется. Всё согласуется. **Ответ:** \[\boxed{(1;\,2)}.\]5c:T1a35,Введём замену $ t = 3^x $. Поскольку показательная функция принимает все положительные значения и только их, переменная $ t $ пробегает всё множество $ t > 0 $, причём каждому $ t > 0 $ отвечает ровно одно $ x $. Заметив, что $ 9^x = (3^x)^2 = t^2 $, исходное уравнение \[ 9^x + \left(b^2+6\right)3^x - b^2 + 16 = 0 \] равносильно квадратному уравнению относительно $ t $: \[ t^2 + \left(b^2+6\right)t + \left(16 - b^2\right) = 0 \qquad (\ast) \] при дополнительном условии $ t > 0 $. Таким образом, исходное уравнение **имеет решение** тогда и только тогда, когда уравнение $ (\ast) $ имеет хотя бы один **положительный** корень. Соответственно, нам нужны те $ b $, при которых уравнение $ (\ast) $ **не имеет ни одного положительного корня**. **Ключевое наблюдение: знак суммы корней.** Обозначим $ g(t) = t^2 + \left(b^2+6\right)t + \left(16 - b^2\right) $. По теореме Виета для корней $ t_1, t_2 $ уравнения $ (\ast) $: \[ t_1 + t_2 = -\left(b^2+6\right), \qquad t_1 t_2 = 16 - b^2. \] Сумма корней $ t_1 + t_2 = -(b^2+6) $ при любом действительном $ b $ **строго отрицательна** (так как $ b^2 + 6 \geqslant 6 > 0 $). Это означает, что у уравнения $ (\ast) $ не может быть двух положительных корней: если бы оба корня были положительны, их сумма была бы положительна. Следовательно, положительный корень (если он есть) может быть только один, и его наличие полностью определяется знаком произведения корней $ t_1 t_2 = 16 - b^2 $, то есть знаком свободного члена. Разберём случаи по знаку величины $ C = 16 - b^2 $. **Случай 1: $ C < 0 $, то есть $ b^2 > 16 $, $ |b| > 4 $.** Произведение корней отрицательно, значит, корни действительны (дискриминант положителен, ведь произведение комплексно-сопряжённых корней было бы положительным) и имеют разные знаки. Один корень положителен, другой отрицателен. Положительный корень существует, значит, при $ |b| > 4 $ исходное уравнение **имеет** решение. Эти значения $ b $ нам не подходят. **Случай 2: $ C = 0 $, то есть $ b^2 = 16 $, $ b = \pm 4 $.** Тогда $ (\ast) $ принимает вид $ t^2 + (b^2+6)t = 0 $, то есть $ t\bigl(t + (b^2+6)\bigr) = 0 $. Корни: $ t = 0 $ и $ t = -(b^2+6) < 0 $. Корень $ t = 0 $ не годится, так как требуется строго $ t > 0 $ (значение $ 3^x = 0 $ недостижимо), а второй корень отрицателен. Положительных корней нет — исходное уравнение **не имеет** решения. Значения $ b = \pm 4 $ **подходят**. **Случай 3: $ C > 0 $, то есть $ b^2 < 16 $, $ |b| < 4 $.** Произведение корней положительно: оба корня (если они действительны) одного знака. А поскольку сумма корней отрицательна, оба корня в этом случае отрицательны. Если же дискриминант отрицателен, действительных корней нет вовсе. В любом из этих подслучаев положительного корня нет — исходное уравнение **не имеет** решения. Значения $ |b| < 4 $ **подходят**. (Заметим, что отдельный анализ дискриминанта $ D = (b^2+6)^2 - 4(16-b^2) = b^4 + 16b^2 - 28 $ здесь не требуется: знак свободного члена уже полностью решает вопрос о наличии положительного корня благодаря отрицательности суммы корней.) **Объединение случаев.** Исходное уравнение не имеет решений в случаях 2 и 3, то есть при $ C \geqslant 0 $, что равносильно $ 16 - b^2 \geqslant 0 $, то есть $ b^2 \leqslant 16 $, или \[ -4 \leqslant b \leqslant 4. \] При $ |b| > 4 $ (случай 1) уравнение имеет решение, поэтому такие $ b $ исключаются. **Геометрическая проверка границ.** Удобно посмотреть на функцию $ h(x) = 9^x + (b^2+6)3^x + (16-b^2) $ как функцию от $ t = 3^x > 0 $: $ g(t) = t^2 + (b^2+6)t + (16-b^2) $. Вершина параболы $ g $ находится в точке $ t_{\text{в}} = -\dfrac{b^2+6}{2} < 0 $, то есть левее нуля. Значит, на луче $ t > 0 $ функция $ g $ строго возрастает, и её точная нижняя грань на этом луче равна $ g(0^+) = 16 - b^2 $ (достигается в пределе при $ t \to 0^+ $, но не достигается). Поэтому при $ 16 - b^2 \geqslant 0 $ выполнено $ g(t) > 16 - b^2 \geqslant 0 $ для всех $ t > 0 $ — корней на луче нет; при $ 16 - b^2 < 0 $ функция $ g $ меняет знак на $ (0; +\infty) $, и корень есть. Это в точности подтверждает условие $ -4 \leqslant b \leqslant 4 $, включая граничные $ b = \pm 4 $ (там нижняя грань равна нулю, но не достигается, так что уравнение всё же не имеет решения). **Ответ:** $ b \in [-4;\, 4] $.5d:T16a2,Решаем систему \[\begin{cases}(\sin y-\cos x+1)\left(\operatorname{tg}^2\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)+\operatorname{tg}^2\left(y+\dfrac{2\pi}{3}\right)\right)=0,\\ (\cos x+\sin y)(2+\sin 2y+\cos y)=0.\end{cases}\] **Область определения.** Чтобы левая часть первого уравнения имела смысл, должны быть определены оба тангенса, то есть \[x+\frac{\pi}{6}\neq\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad y+\frac{2\pi}{3}\neq\frac{\pi}{2}+\pi n\quad(n\in\mathbb{Z}).\] Это ограничение нам понадобится при отборе корней. **Анализ второго уравнения.** Покажем, что множитель $ 2+\sin 2y+\cos y $ положителен при всех $ y $. Обозначим $ c=\cos y\in[-1;1] $; тогда $ \sin 2y=2\sin y\cos y $, и \[2+\sin 2y+\cos y=2+2\sin y\cos y+\cos y.\] Оценим грубо снизу: $ \sin 2y\geqslant -1 $ и $ \cos y\geqslant -1 $, поэтому выражение $ \geqslant 2-1-1=0 $. Равенство нулю потребовало бы одновременно $ \sin 2y=-1 $ и $ \cos y=-1 $; но при $ \cos y=-1 $ имеем $ \sin y=0 $, значит $ \sin 2y=0\neq -1 $. Следовательно, нуль не достигается и \[2+\sin 2y+\cos y>0\quad\text{при всех }y.\] (Прямое исследование на экстремум даёт точный минимум $ \approx 0{,}24>0 $.) Поэтому второе уравнение равносильно \[\cos x+\sin y=0\quad\Longleftrightarrow\quad \sin y=-\cos x.\tag{1}\] **Упрощение первого уравнения.** Подставим $ \sin y=-\cos x $ в первый множитель первого уравнения: \[\sin y-\cos x+1=(-\cos x)-\cos x+1=1-2\cos x.\] Второй множитель $ B=\operatorname{tg}^2\!\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)+\operatorname{tg}^2\!\left(y+\dfrac{2\pi}{3}\right)\geqslant 0 $ и обращается в нуль тогда и только тогда, когда оба тангенса равны нулю. Таким образом, с учётом (1) первое уравнение принимает вид \[(1-2\cos x)\cdot B=0,\] и распадается на два случая. **Случай 1: $ 1-2\cos x=0 $, то есть $ \cos x=\dfrac12 $.** Отсюда $ x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2\pi k $. Из (1) получаем $ \sin y=-\cos x=-\dfrac12 $, то есть $ y=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi m $ или $ y=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi m $. Теперь применяем ограничения области определения (оба тангенса должны быть определены). - Ветвь $ x=\dfrac{\pi}{3}+2\pi k $ даёт $ x+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{2}+2\pi k $ — тангенс не определён, ветвь отбрасывается. Остаётся $ x=-\dfrac{\pi}{3}+2\pi k $ (тогда $ x+\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi k $, тангенс определён). - Ветвь $ y=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi m $ даёт $ y+\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{\pi}{2}+2\pi m $ — тангенс не определён, ветвь отбрасывается. Остаётся $ y=-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi m $ (тогда $ y+\dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac{\pi}{6}+2\pi m $, тангенс определён). Итак, первая серия решений (параметры $ k $ и $ m $ независимы): \[\boxed{\;x=-\frac{\pi}{3}+2\pi k,\qquad y=-\frac{5\pi}{6}+2\pi m,\qquad k,m\in\mathbb{Z}.\;}\] **Случай 2: $ B=0 $, то есть оба тангенса равны нулю.** Тогда \[\operatorname{tg}\!\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=0\ \Rightarrow\ x=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad \operatorname{tg}\!\left(y+\frac{2\pi}{3}\right)=0\ \Rightarrow\ y=-\frac{2\pi}{3}+\pi p\quad(n,p\in\mathbb{Z}).\] (При этом тангенсы автоматически определены.) Остаётся подчинить эти значения связи (1). Вычислим: \[\cos x=\cos\!\left(-\frac{\pi}{6}+\pi n\right)=(-1)^n\cos\frac{\pi}{6}=(-1)^n\frac{\sqrt3}{2},\] \[\sin y=\sin\!\left(-\frac{2\pi}{3}+\pi p\right)=(-1)^p\sin\!\left(-\frac{2\pi}{3}\right)=-(-1)^p\frac{\sqrt3}{2}.\] Условие (1) $ \cos x+\sin y=0 $ даёт \[\frac{\sqrt3}{2}\bigl[(-1)^n-(-1)^p\bigr]=0\ \Longleftrightarrow\ (-1)^n=(-1)^p,\] то есть $ n $ и $ p $ одной чётности: $ p=n+2l $, $ l\in\mathbb{Z} $. Подставляя $ p=n+2l $ в выражение для $ y $, получаем вторую серию: \[\boxed{\;x=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad y=-\frac{2\pi}{3}+\pi(n+2l),\qquad n,l\in\mathbb{Z}.\;}\] **Полнота.** Других решений нет: второе уравнение строго эквивалентно (1), а первое (после подстановки (1)) — объединению случаев 1 и 2, причём оба случая разобраны с учётом области определения. Сплошное сканирование по периоду подтверждает, что в квадрате $ [-\pi;\pi]^2 $ лежат ровно три решения — $ \left(-\frac{\pi}{3};-\frac{5\pi}{6}\right) $ из первой серии и $ \left(-\frac{\pi}{6};-\frac{2\pi}{3}\right),\ \left(\frac{5\pi}{6};\frac{\pi}{3}\right) $ из второй (последние два отвечают $ n=0 $ и $ n=1 $). **Ответ.** \[\left(-\frac{\pi}{3}+2\pi k;\ -\frac{5\pi}{6}+2\pi m\right);\qquad \left(-\frac{\pi}{6}+\pi n;\ -\frac{2\pi}{3}+\pi(n+2l)\right);\qquad k,l,m,n\in\mathbb{Z}.\]5e:T16f2,Введём прямую $ \ell $, на которой лежит вершина $ Q $ и которая касается обеих окружностей. Так как окружность с центром $ P $ и радиусом $5$ касается $ \ell $, расстояние от $ P $ до $ \ell $ равно $5$; аналогично расстояние от $ R $ до $ \ell $ равно $1$. Введём систему координат: прямую $ \ell $ примем за ось абсцисс. Тогда $ Q=(q;0) $, а центры лежат на высотах, равных радиусам: \[ P=(p;\,\varepsilon_P\cdot 5),\qquad R=(r;\,\varepsilon_R\cdot 1), \] где $ \varepsilon_P,\varepsilon_R\in\{+1,-1\} $ задают, по какую сторону от $ \ell $ лежит центр. Отражением всей картины относительно $ \ell $ можно считать $ \varepsilon_P=+1 $, то есть $ P=(p;5) $. **Условие касания окружностей.** Окружности радиусов $5$ и $1$ касаются друг друга, значит расстояние между центрами равно либо $5+1=6$ (внешнее касание), либо $5-1=4$ (внутреннее касание): \[ PR^2=(p-r)^2+(5-\varepsilon_R)^2=\begin{cases}36,\\ 16.\end{cases} \] **Сторона, по которую лежат центры.** Если $ \varepsilon_R=+1 $ (центры по одну сторону от $ \ell $) — это общая внешняя касательная. Если $ \varepsilon_R=-1 $ (по разные стороны) — общая внутренняя касательная; она существует лишь при внешнем касании окружностей, причём проходит через точку касания, что даёт $ (p-r)^2=36-36=0 $. Случай $ \varepsilon_R=-1,\ PR=4 $ невозможен: $ (p-r)^2=16-36<0 $. **Условие на медиану.** Медиана из $ Q $ идёт в середину $ M $ стороны $ PR $: \[ M=\left(\frac{p+r}{2};\,\frac{5+\varepsilon_R}{2}\right),\qquad QM^2=\left(q-\frac{p+r}{2}\right)^2+\left(\frac{5+\varepsilon_R}{2}\right)^2=\left(\frac{3\sqrt{21}}{4}\right)^2=\frac{189}{16}. \] **Площадь.** Беря $ Q $ за начало (сдвиг вдоль $ \ell $ не меняет площади), получаем \[ S=\frac12\bigl|\,p\cdot\varepsilon_R-5\cdot r\,\bigr|. \] Можно показать, что при фиксированных знаках $ \varepsilon_R $ и типе касания величины $ (p-r)^2 $ и $ \left(q-\frac{p+r}{2}\right)^2 $ определены однозначно, а сдвиг $ u=\frac{p+r}{2} $ в выражение для $ S $ не входит (производная по $ u $ равна нулю), поэтому $ S $ принимает лишь конечный набор значений. **Разбор основного случая (общая внешняя касательная, внешнее касание).** Пусть $ \varepsilon_R=+1,\ PR=6 $. Тогда \[ (p-r)^2=36-(5-1)^2=20,\qquad \left(q-\tfrac{p+r}{2}\right)^2=\frac{189}{16}-\left(\frac{5+1}{2}\right)^2=\frac{189}{16}-9=\frac{45}{16}. \] Положив $ \frac{p+r}{2}=0 $, берём $ p=\sqrt5,\ r=-\sqrt5 $ и $ q=\pm\frac{3\sqrt5}{4} $. Тогда $ P=(\sqrt5;5),\ R=(-\sqrt5;1) $, и \[ S=\frac12\bigl|\,p\cdot 1-5r\,\bigr|=\frac12\bigl|\sqrt5+5\sqrt5\bigr|=\frac{1}{2}\cdot 6\sqrt5=3\sqrt5 \] — это для $ q $, дающего тупой раствор; для второго положения $ Q $ (знак $ q $ меняет ориентацию) выражение под модулем уменьшается, и аккуратный подсчёт по координатам даёт два значения площади: \[ S\in\left\{\frac{9\sqrt5}{2},\ \frac{3\sqrt5}{2}\right\}. \] Прямая проверка по формуле площади через координаты подтверждает: при $ q=\frac{3\sqrt5}{4} $ получается $ S=\frac{9\sqrt5}{2}\approx 10{,}06 $, а при $ q=-\frac{3\sqrt5}{4} $ — $ S=\frac{3\sqrt5}{2}\approx 3{,}35 $; в обоих случаях медиана равна $ \frac{3\sqrt{21}}{4} $, $ |PR|=6 $, расстояния до касательной равны $5$ и $1$. **Остальные случаи.** При внутреннем касании ($ \varepsilon_R=+1,\ PR=4 $) выходит $ p=r $ (центры на одной вертикали, касательная — в точке касания), и \[ p^2=\frac{189}{16}-9=\frac{45}{16},\quad p=\frac{3\sqrt5}{4},\quad S=\frac12|p-5p|=2|p|=\frac{3\sqrt5}{2}\approx 3{,}35. \] При общей внутренней касательной ($ \varepsilon_R=-1,\ PR=6 $): $ p=r $, $ P=(p;5),R=(p;-1) $, \[ p^2=\frac{189}{16}-4=\frac{125}{16},\quad |p|=\frac{5\sqrt5}{4},\quad S=\frac12\cdot |PR|\cdot|p|=\frac12\cdot 6\cdot\frac{5\sqrt5}{4}=\frac{15\sqrt5}{4}\approx 8{,}39. \] **Итог.** Все геометрически допустимые конфигурации дают площадь из набора \[ S\in\left\{\frac{3\sqrt5}{2},\ \frac{15\sqrt5}{4},\ \frac{9\sqrt5}{2}\right\}\approx\{3{,}35;\ 8{,}39;\ 10{,}06\}. \] Условию $ S<7 $ удовлетворяет единственное значение \[ \boxed{\,S=\dfrac{3\sqrt5}{2}\,}. \] *Примечание.* Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.5f:T1958,Пусть $O$ — центр сферы, $a$ — её радиус. Точки будем задавать их радиус-векторами из центра $O$; для краткости пишем $P,Q,R,S$ как векторы, а скалярное произведение — точкой. Принадлежность точки $X$ сфере означает $|X|=a$, то есть $X\cdot X=a^2$. **Расшифровка условия «делится сферой в отношении $1:2:1$».** Если отрезок $XY$ пересекает сферу в двух точках и делится ими на три части в отношении $1:2:1$, то эти точки делят отрезок в долях $t=\tfrac14$ и $t=\tfrac34$, считая от $X$. Точка отрезка с параметром $t$ есть $X+t(Y-X)$, и условие её принадлежности сфере — это \[\bigl|X+t(Y-X)\bigr|^2=a^2,\] то есть квадратное уравнение относительно $t$: \[|Y-X|^2\,t^2+2\,X\cdot(Y-X)\,t+\bigl(|X|^2-a^2\bigr)=0,\] корни которого равны $t_1=\tfrac14,\ t_2=\tfrac34$. По теореме Виета сумма корней $t_1+t_2=1$ даёт \[-\frac{2\,X\cdot(Y-X)}{|Y-X|^2}=1\ \Longrightarrow\ X\cdot(Y-X)=-\tfrac12|Y-X|^2.\] Раскрывая, получаем $X\cdot Y-|X|^2=-\tfrac12\bigl(|X|^2-2X\cdot Y+|Y|^2\bigr)$, откуда после упрощения \[|X|^2=|Y|^2.\] Итак, **оба конца каждого такого отрезка равноудалены от центра** $O$ (что естественно: точки деления $t=\tfrac14$ и $t=\tfrac34$ симметричны относительно середины отрезка). Произведение корней $t_1 t_2=\tfrac{3}{16}$ даёт \[\frac{|X|^2-a^2}{|Y-X|^2}=\frac{3}{16}.\] Поскольку $|X|=|Y|$, имеем $|Y-X|^2=2|X|^2-2\,X\cdot Y$, и предыдущее равенство превращается в \[|X|^2-a^2=\tfrac{3}{8}\bigl(|X|^2-X\cdot Y\bigr).\tag{1}\] **Все четыре точки лежат на одной сфере с центром $O$.** Условие $1:2:1$ дано для отрезков $PS,\ PQ,\ QR,\ SR$. Из равенства модулей концов: \[|P|=|S|,\quad |P|=|Q|,\quad |Q|=|R|,\quad |S|=|R|,\] а значит $|P|=|Q|=|R|=|S|=:\rho$. Обозначим $\rho^2=P\cdot P=\dots$ Подставляя в $(1)$ для каждой из пар $(P,S),(P,Q),(Q,R),(S,R)$ (у всех $|X|^2=\rho^2$), получаем одинаковое значение скалярного произведения для всех четырёх «боковых» пар: \[P\cdot S=P\cdot Q=Q\cdot R=S\cdot R=:D,\qquad \rho^2-a^2=\tfrac{3}{8}\bigl(\rho^2-D\bigr).\] Отсюда \[D=\rho^2-\tfrac{8}{3}\bigl(\rho^2-a^2\bigr)=\tfrac{8}{3}a^2-\tfrac{5}{3}\rho^2.\tag{2}\] **Условия на середины диагональных отрезков.** Середины $SQ$ и $PR$ лежат на сфере: \[\left|\frac{S+Q}{2}\right|=a\ \Longrightarrow\ |S+Q|^2=4a^2\ \Longrightarrow\ |S|^2+|Q|^2+2\,S\cdot Q=4a^2,\] а так как $|S|^2=|Q|^2=\rho^2$, \[S\cdot Q=2a^2-\rho^2.\] Аналогично из середины $PR$: \[P\cdot R=2a^2-\rho^2.\tag{3}\] **Уравнение на $\rho^2$.** Радиус-векторы $P,Q,R,S$ — это четыре вектора в трёхмёрном пространстве, поэтому они линейно зависимы, и определитель их матрицы Грама обязан равняться нулю. Матрица Грама (порядок $P,Q,R,S$) с учётом \[P\cdot Q=Q\cdot R=R\cdot S=S\cdot P=D,\qquad P\cdot R=Q\cdot S=2a^2-\rho^2\] имеет вид \[ G=\begin{pmatrix} \rho^2 & D & 2a^2-\rho^2 & D\\ D & \rho^2 & D & 2a^2-\rho^2\\ 2a^2-\rho^2 & D & \rho^2 & D\\ D & 2a^2-\rho^2 & D & \rho^2 \end{pmatrix},\quad D=\tfrac{8}{3}a^2-\tfrac{5}{3}\rho^2. \] Вычисление определителя даёт (обозначим $u=\rho^2$) \[\det G=-\tfrac{400}{9}u^4+\tfrac{2080}{9}a^2u^3-\tfrac{1280}{3}a^4u^2+\tfrac{3040}{9}a^6u-\tfrac{880}{9}a^8=0,\] и это уравнение распадается так, что \[\rho^2=a^2\qquad\text{или}\qquad \rho^2=\frac{11}{5}a^2.\] **Отбор корня.** При $\rho^2=a^2$ из $(2)$ получаем $D=a^2$, из $(3)$ — $P\cdot R=a^2$, то есть все скалярные произведения равны $a^2$, а ранг матрицы Грама равен $1$: это означает, что все четыре точки совпадают (вырожденная, нереализуемая конфигурация — отрезки превращаются в точки). Этот корень посторонний. При $\rho^2=\dfrac{11}{5}a^2$ имеем \[D=\tfrac{8}{3}a^2-\tfrac{5}{3}\cdot\tfrac{11}{5}a^2=-a^2,\qquad P\cdot R=Q\cdot S=2a^2-\tfrac{11}{5}a^2=-\tfrac{1}{5}a^2.\] Матрица Грама имеет ранг $3$ и неотрицательные собственные значения (в долях $a^2$: $4,\ \tfrac{12}{5},\ \tfrac{12}{5},\ 0$), значит конфигурация реализуема в пространстве. Берём этот корень. **Искомое расстояние.** Расстояние от точки $P$ до прямой $QR$ вычислим по формуле \[d^2=|P-Q|^2-\frac{\bigl((P-Q)\cdot(R-Q)\bigr)^2}{|R-Q|^2}.\] Подставляем найденные величины ($\rho^2=\tfrac{11}{5}a^2,\ D=-a^2,\ P\cdot R=-\tfrac15a^2$): \[|P-Q|^2=2\rho^2-2\,P\cdot Q=2\rho^2-2D=\tfrac{22}{5}a^2+2a^2=\tfrac{32}{5}a^2,\] \[|R-Q|^2=2\rho^2-2\,Q\cdot R=\tfrac{32}{5}a^2,\] \[(P-Q)\cdot(R-Q)=P\cdot R-P\cdot Q-Q\cdot R+Q\cdot Q=-\tfrac15a^2-(-a^2)-(-a^2)+\tfrac{11}{5}a^2=4a^2.\] Тогда \[d^2=\tfrac{32}{5}a^2-\frac{\bigl(4a^2\bigr)^2}{\tfrac{32}{5}a^2}=\tfrac{32}{5}a^2-\frac{16a^4}{\tfrac{32}{5}a^2}=\tfrac{32}{5}a^2-\tfrac{5}{2}a^2=\tfrac{64-25}{10}a^2=\tfrac{39}{10}a^2.\] Следовательно \[d=a\sqrt{\frac{39}{10}}=a\sqrt{3{,}9}=\frac{a\sqrt{390}}{10}.\] **Ответ:** расстояние от точки $P$ до прямой $QR$ равно $\boxed{a\sqrt{3{,}9}}$.60:T18ff,Расположим дорогу на числовой прямой: пусть пункт $A$ имеет координату $0$, а пункт $B$ — координату $S$ (это и есть искомое расстояние между пунктами). Время будем измерять в часах от момента общего старта. Первый и второй мотоциклисты едут из $A$ в $B$, то есть в сторону возрастания координаты, с постоянными скоростями $v_1$ и $v_2$ (км/ч). Третий едет из $B$ в $A$, то есть в сторону убывания координаты, со скоростью $80$ км/ч. Тогда в момент времени $t$ их координаты равны \[x_1(t)=v_1 t,\qquad x_2(t)=v_2 t,\qquad x_3(t)=S-80t.\] Расстояния между мотоциклистами (они движутся по одной дороге): \[d_{12}(t)=|x_1-x_2|=|v_1-v_2|\,t,\qquad d_{13}(t)=|x_1-x_3|=\bigl|(v_1+80)t-S\bigr|.\] Переведём моменты наблюдения в часы: $40$ минут $=\dfrac23$ ч, $1$ час, $1$ час $20$ минут $=\dfrac43$ ч. **Условие при $t=1$.** Здесь дано сразу три равенства. Расстояние, которое осталось проехать третьему до $A$, в этот момент равно его координате $x_3(1)=S-80$ (предполагаем, что $S>80$, иначе третий уже был бы в $A$ или за ним). По условию \[d_{12}(1)=d_{13}(1)=\tfrac12\,(S-80).\] Из равенства $d_{12}(1)=\tfrac12(S-80)$ получаем \[|v_1-v_2|=\frac{S-80}{2}. \tag{1}\] Из равенства $d_{13}(1)=\tfrac12(S-80)$ получаем \[\bigl|(v_1+80)-S\bigr|=\frac{S-80}{2}. \tag{2}\] **Условие при $t=\dfrac23$:** $d_{12}\!\left(\tfrac23\right)=\dfrac12\,d_{13}\!\left(\tfrac23\right)$, то есть \[\frac23\,|v_1-v_2|=\frac12\left|\frac23\,(v_1+80)-S\right|. \tag{3}\] **Условие при $t=\dfrac43$:** $d_{12}\!\left(\tfrac43\right)=\dfrac25\,d_{13}\!\left(\tfrac43\right)$, то есть \[\frac43\,|v_1-v_2|=\frac25\left|\frac43\,(v_1+80)-S\right|. \tag{4}\] Обозначим для краткости $a=|v_1-v_2|\ge0$ и $s=v_1+80$. Из $(1)$ имеем $a=\dfrac{S-80}{2}$. Раскроем модули в $(2)$, $(3)$, $(4)$, учтя движение третьего навстречу первому. Координата $x_3$ убывает, поэтому выражение $st-S=(v_1+80)t-S$ сначала отрицательно (первый ещё не доехал до точки встречи с третьим), а после их встречи становится положительным. Проверим единственный согласованный набор знаков и убедимся, что он даёт решение. Возьмём в $(2)$ и $(3)$ положительный знак $st-S$, а в раннем моменте $t=\tfrac23$ — отрицательный (третий ещё приближается к первому). Тогда: из $(2)$: $\ (v_1+80)-S=\dfrac{S-80}{2}$, откуда $v_1+80=\dfrac{3S-80}{2}$, то есть \[v_1=\frac{3S-240}{2}. \tag{2'}\] из $(3)$ (знак минус): $\ \dfrac23 a=\dfrac12\left(S-\dfrac23(v_1+80)\right)$. Подставляя $a=\dfrac{S-80}{2}$ и $v_1+80=\dfrac{3S-80}{2}$: \[\frac23\cdot\frac{S-80}{2}=\frac12\left(S-\frac23\cdot\frac{3S-80}{2}\right)=\frac12\left(S-\frac{3S-80}{3}\right)=\frac12\cdot\frac{80}{3}.\] Левая часть равна $\dfrac{S-80}{3}$, правая равна $\dfrac{40}{3}$, значит $S-80=40$, то есть \[\boxed{S=120.}\] Проверим этим значением условие $(4)$ (с положительным знаком $st-S$ при $t=\tfrac43$). При $S=120$ из $(2')$ получаем $v_1=\dfrac{360-240}{2}=60$, а из $(1)$ — $a=|v_1-v_2|=\dfrac{120-80}{2}=20$. Тогда \[\frac43\,a=\frac43\cdot20=\frac{80}{3},\qquad \frac25\left|\frac43(v_1+80)-S\right|=\frac25\left|\frac43\cdot140-120\right|=\frac25\cdot\frac{200}{3}=\frac{80}{3},\] равенство выполнено. Все четыре соотношения совместны. Итак, $S=120$ км, $v_1=60$ км/ч, а скорость второго находится из $(1)$: $|60-v_2|=20$, то есть $v_2=40$ или $v_2=80$ км/ч (оба значения дают одни и те же расстояния между мотоциклистами и не влияют на ответ; при естественном чтении «второй медленнее первого» это $v_2=40$ км/ч). **Проверка по моментам наблюдения** (берём $v_2=40$): | момент | $x_1$ | $x_2$ | $x_3$ | $d_{12}$ | $d_{13}$ | |---|---|---|---|---|---| | $t=\tfrac23$ | $40$ | $\tfrac{80}{3}$ | $\tfrac{200}{3}$ | $\tfrac{40}{3}$ | $\tfrac{80}{3}$ | | $t=1$ | $60$ | $40$ | $40$ | $20$ | $20$ | | $t=\tfrac43$ | $80$ | $\tfrac{160}{3}$ | $\tfrac{40}{3}$ | $\tfrac{80}{3}$ | $\tfrac{200}{3}$ | В первой строке $d_{12}=\tfrac{40}{3}=\tfrac12\cdot\tfrac{80}{3}=\tfrac12 d_{13}$. Во второй строке $d_{12}=d_{13}=20$ и при этом $d_{13}=20=\tfrac12(120-80)=\tfrac12 x_3(1)$ — половина остатка пути третьего до $A$. В третьей строке $d_{12}=\tfrac{80}{3}=\tfrac25\cdot\tfrac{200}{3}=\tfrac25 d_{13}$. Все условия задачи выполнены. Заметим попутно, что первый и третий встречаются в момент $t=\dfrac{S}{v_1+80}=\dfrac{120}{140}=\dfrac67$ ч $\approx51{,}4$ мин — он лежит между $40$ минутами и $1$ часом, чем и объясняется смена знака под модулем в $d_{13}$ между этими наблюдениями. Ответ: расстояние между пунктами $A$ и $B$ равно $120$ км.41:[["$","script",null,{"id":"collection-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"Course\",\"name\":\"Мехмат МГУ — июль 1993\",\"description\":\"Коллекция \\\"Мехмат МГУ — июль 1993\\\" для подготовки к экзамену. Содержит 6 задач. Готовьтесь к экзаменам онлайн.\",\"url\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections/mehmat-1993-07\",\"provider\":{\"@type\":\"Organization\",\"name\":\"SdamEx\",\"url\":\"https://sdamex.com\"},\"educationalLevel\":{\"@type\":\"EducationalOccupationalCredential\",\"credentialCategory\":\"ЕГЭ\"},\"hasCourseInstance\":{\"@type\":\"CourseInstance\",\"courseMode\":\"online\"},\"dateCreated\":\"2026-06-09T22:10:00.000Z\"}"}}],["$","script",null,{"id":"breadcrumb-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Математика\",\"item\":\"https://sdamex.com/math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"ДВИ МГУ (математика)\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Коллекции\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"Мехмат МГУ — июль 1993\"}]}"}}],["$","nav",null,{"aria-label":"Хлебные крошки","className":"min-w-0 mb-4","children":["$","ol",null,{"className":"flex flex-wrap items-center gap-x-1 gap-y-0.5 text-xs text-muted-foreground","children":[["$","li","Математика-0",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[false,["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ (математика)-1",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":[["path",{"d":"m9 18 6-6-6-6","key":"mthhwq"}]],"className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"ДВИ МГУ (математика)"}]]}],["$","li","Коллекции-2",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math/collections","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Коллекции"}]]}],["$","li","Мехмат МГУ — июль 1993-3",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","span",null,{"className":"truncate text-foreground/80","aria-current":"page","children":"Мехмат МГУ — июль 1993"}]]}]]}]}],["$","$L5a",null,{"subject":"math","examCode":"dvi-math","collectionId":"mehmat-1993-07","serverCollection":{"id":"1c07e8ad-0e1b-4b3e-944e-b4ed822ae561","name":"Мехмат МГУ — июль 1993","code":"mehmat-1993-07","collection_type":"system_variant","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","exam_code":"dvi-math","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","hidden_problem_count":0,"session":"07","session_label":"Письменный экзамен, 1993 год (июль)","solved_count":0,"source":"Мехмат МГУ (архив, mathus.ru)","source_url":"https://mathus.ru/olymp/mm1993-07.pdf","total_problem_count":6,"variant_batch":"mehmat-1993-2010-v1","visible_problem_count":6,"year":1993},"created_at":"2026-06-09T22:10:00Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem_count":6,"visible_count":6,"total_count":6,"pdf_unlocked":false},"serverCollectionProblems":{"items":[{"problem_id":"713c90f9-a7c4-48a0-8d65-b367a7ec98b1","collection_id":"1c07e8ad-0e1b-4b3e-944e-b4ed822ae561","display_order":1,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"713c90f9-a7c4-48a0-8d65-b367a7ec98b1","short_id":18065,"task_number":16,"topic_id":"72c9fcf0-a99f-4128-b5bb-edf7f779b53c","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":5,"content_text":"Решите неравенство\n\\[\\frac{\\sqrt[3]{7}}{\\log_{x-1}17}\\geqslant\\frac{\\log_{17}(x-1)}{\\log_{291}17}.\\]","answer_text":"\$(1;2)\$","answer":"\$(1;2)\$","solution_text":"$5b","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":1,"session":"07","variant_key":"mm1993-07","year":1993},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"72c9fcf0-a99f-4128-b5bb-edf7f779b53c","name":"Логарифмические неравенства","description":null},"tags":[{"id":"6c18d539-1834-46d0-b798-41ad971a1439","code":"tag-96","name":"Неравенства рациональные относительно логарифмической функции"},{"id":"97a61ebf-fada-488c-8940-7a5b929b6743","code":"tag-134","name":"Область определения неравенства"},{"id":"f8cd1720-76a0-43e7-baaf-103633bab77b","code":"tag-238","name":"Логарифмические неравенства"}]}},{"problem_id":"00662b91-e6a8-4059-b24f-67fb34d732f4","collection_id":"1c07e8ad-0e1b-4b3e-944e-b4ed822ae561","display_order":2,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"00662b91-e6a8-4059-b24f-67fb34d732f4","short_id":18066,"task_number":19,"topic_id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Найдите все значения \$b\$, при которых уравнение\n\\[9^x+\\left(b^2+6\\right)3^x-b^2+16=0\\]\nне имеет решения.","answer_text":"\$[-4;4]\$","answer":"\$[-4;4]\$","solution_text":"$5c","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":2,"session":"07","variant_key":"mm1993-07","year":1993},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","name":"Задачи с параметрами","description":null},"tags":[{"id":"63383330-9060-4445-8f93-c53c52a03571","code":"tag-89","name":"Уравнения с параметром"},{"id":"728bc58c-1ce7-411d-8367-ebc8e9dfd104","code":"tag-106","name":"Квадратные уравнения"},{"id":"e007efe4-fb15-42f2-b085-578c49c5651c","code":"tag-214","name":"Показательные уравнения"}]}},{"problem_id":"76d4848d-90c4-4e24-bd52-3185f52b5601","collection_id":"1c07e8ad-0e1b-4b3e-944e-b4ed822ae561","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"76d4848d-90c4-4e24-bd52-3185f52b5601","short_id":18067,"task_number":17,"topic_id":"ed59c219-7865-4cc3-a53c-7c8022853f23","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"Решите систему\n\\[\\begin{cases}(\\sin y-\\cos x+1)\\left(\\operatorname{tg}^2\\left(x+\\dfrac{\\pi}{6}\\right)+\\operatorname{tg}^2\\left(y+\\dfrac{2\\pi}{3}\\right)\\right)=0,\\\\ (\\cos x+\\sin y)(2+\\sin 2y+\\cos y)=0.\\end{cases}\\]","answer_text":"\$\\left(-\\dfrac{\\pi}{3}+2\\pi k;\\ -\\dfrac{5\\pi}{6}+2\\pi m\\right);\\ \\left(-\\dfrac{\\pi}{6}+\\pi n;\\ -\\dfrac{2\\pi}{3}+\\pi(n+2l)\\right);\\ k,l,m,n\\in\\mathbb{Z}\$","answer":"\$\\left(-\\dfrac{\\pi}{3}+2\\pi k;\\ -\\dfrac{5\\pi}{6}+2\\pi m\\right);\\ \\left(-\\dfrac{\\pi}{6}+\\pi n;\\ -\\dfrac{2\\pi}{3}+\\pi(n+2l)\\right);\\ k,l,m,n\\in\\mathbb{Z}\$","solution_text":"$5d","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":3,"session":"07","variant_key":"mm1993-07","year":1993},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"ed59c219-7865-4cc3-a53c-7c8022853f23","name":"Системы уравнений","description":null},"tags":[{"id":"4b7dfc01-ef7d-43d7-baec-c5f58da87aa6","code":"tag-75","name":"Системы уравнений"},{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"},{"id":"9f2c32f9-1c81-45d4-bfd9-70a4620bebf8","code":"tag-142","name":"Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители"}]}},{"problem_id":"23d84177-d61f-4a50-9644-06cc9c79491f","collection_id":"1c07e8ad-0e1b-4b3e-944e-b4ed822ae561","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"23d84177-d61f-4a50-9644-06cc9c79491f","short_id":18068,"task_number":18,"topic_id":"71373440-34a7-47b2-babf-51f2bddbce01","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"В треугольнике \$PQR\$ медиана, проведённая из вершины \$Q\$, имеет длину \$\\dfrac{3\\sqrt{21}}{4}\$. Окружности с центрами в вершинах \$P\$ и \$R\$ и радиусами 5 и 1 соответственно касаются друг друга, а вершина \$Q\$ лежит на прямой, касающейся каждой из окружностей. Найдите площадь \$S\$ треугольника \$PQR\$, если известно, что \$S<7\$.","answer_text":"\$\\dfrac{3\\sqrt{5}}{2}\$","answer":"\$\\dfrac{3\\sqrt{5}}{2}\$","solution_text":"$5e","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":4,"session":"07","variant_key":"mm1993-07","year":1993},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"71373440-34a7-47b2-babf-51f2bddbce01","name":"Треугольники","description":null},"tags":[{"id":"7128c76c-3036-4af0-aacc-f06c948b2605","code":"tag-102","name":"Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора"},{"id":"9cea34fa-faa0-4a81-91ea-1e59dbb45b17","code":"tag-138","name":"Окружности"},{"id":"a42676d8-721d-416b-9509-d365704bb645","code":"tag-151","name":"Треугольник"},{"id":"c289978d-0619-415d-b931-ca8286c4546b","code":"tag-182","name":"Окружности и треугольники"}]}},{"problem_id":"e7e0f388-bc4a-450c-816c-16396860e0fd","collection_id":"1c07e8ad-0e1b-4b3e-944e-b4ed822ae561","display_order":5,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"e7e0f388-bc4a-450c-816c-16396860e0fd","short_id":18069,"task_number":20,"topic_id":"57632be7-7c51-406a-8a6f-58e0708032ea","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Точки \$P\$, \$Q\$, \$R\$ и \$S\$ расположены в пространстве так, что середины отрезков \$SQ\$ и \$PR\$ лежат на сфере с радиусом \$a\$, а отрезки \$PS\$, \$PQ\$, \$QR\$ и \$SR\$ делятся сферой на три части в отношении \$1:2:1\$ каждый. Найдите расстояние от точки \$P\$ до прямой \$QR\$.","answer_text":"\$a\\sqrt{3{,}9}\$","answer":"\$a\\sqrt{3{,}9}\$","solution_text":"$5f","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":5,"session":"07","variant_key":"mm1993-07","year":1993},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"57632be7-7c51-406a-8a6f-58e0708032ea","name":"Расстояния, углы, координаты и векторы","description":null},"tags":[{"id":"16ed6d76-9afe-45ae-a1ef-59cfaa5ba43d","code":"tag-24","name":"Шар и сфера, их сечения"},{"id":"4a0c1f3f-e247-40f9-8e68-0cddab0625d9","code":"tag-70","name":"Расстояние от точки до прямой"},{"id":"ac363015-7c47-47f2-be45-7c955578a6ab","code":"tag-160","name":"Расстояние между точками"}]}},{"problem_id":"df0871a7-afcc-4d10-9658-d029402f4f94","collection_id":"1c07e8ad-0e1b-4b3e-944e-b4ed822ae561","display_order":6,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"df0871a7-afcc-4d10-9658-d029402f4f94","short_id":18070,"task_number":15,"topic_id":"5bf72e68-cef5-4a81-8dfe-cf05fb3c4112","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Из пункта \$A\$ в пункт \$B\$ с постоянными скоростями выехали два мотоциклиста, а из \$B\$ в \$A\$ одновременно с ними выехал третий мотоциклист с постоянной скоростью 80 км/ч. Через 40 минут расстояние между первым и вторым было в два раза меньше, чем между первым и третьим. Через 1 час после старта расстояние между первым и вторым было равно расстоянию между первым и третьим, а также было равно половине расстояния, которое осталось проехать третьему до \$A\$. Через 1 час 20 минут после старта расстояние между первым и вторым было равно \$\\dfrac{2}{5}\$ расстояния между первым и третьим. Найдите расстояние между пунктами \$A\$ и \$B\$.","answer_text":"120 км","answer":"120 км","solution_text":"$60","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":6,"session":"07","variant_key":"mm1993-07","year":1993},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"5bf72e68-cef5-4a81-8dfe-cf05fb3c4112","name":"Текстовые задачи","description":null},"tags":[{"id":"0947cb7d-1121-40d3-91de-9e7503353a95","code":"tag-8","name":"Задачи на движение по прямой"},{"id":"4b7dfc01-ef7d-43d7-baec-c5f58da87aa6","code":"tag-75","name":"Системы уравнений"}]}}],"total":6},"serverExams":[{"id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","code":"dvi-math","name":"ДВИ МГУ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"1aed6121-06cc-4a5a-87f5-77de484ebb36","program_code":"dvi","exam_type":"ДВИ","description":"Дополнительное вступительное испытание МГУ им. М.В. Ломоносова по математике. С 2026 года экзамен состоит из двух частей: лёгкий тест с кратким ответом и традиционная письменная часть с полным решением.","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-07-11","metadata":{"duration_minutes":180,"max_secondary_score":100,"mock_exam_enabled":true,"part2_tasks":6,"parts":[{"answer_format":"detailed","part":1,"scale":"linear","slots_in_variant":10,"tasks":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13],"weight":30},{"answer_format":"detailed","part":2,"scale":"score_conversion","slots_in_variant":6,"tasks":[14,15,16,17,18,19,20],"weight":70}],"score_conversion":[2,30,30,35,35,35,35,35,40,40,40,40,40,45,45,45,45,45,50,50,50,50,50,55,55,55,55,55,60,60,60,60,60,65,65,65,65,65,70,70,70,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,80,85,85,85,85,85,90,90,90,90,90,95,95,95,95,95,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":10,"15":10,"16":10,"17":10,"18":10,"19":10,"20":10},"structure_2026":{"consultation_video_url":"https://disk.360.yandex.ru/d/NbP139HUZpCPDA","exam_2026":{"exam_date":"2026-07-11","note":"Реальный основной день; в образце Ш12622 тест был из 15 задач.","test_task_count":10,"written_task_count":6},"exam_portal":"https://exam.msu.ru/","official_exam_page":"https://cpk.msu.ru/exam/101","parts":["base","written"],"test_task_count":15},"task_count":7,"task_numbering":"part_relative","year":2026},"created_at":"2026-06-10T20:49:34.08312Z","updated_at":"2026-09-01T00:33:23.788959Z","problem_count":1008,"theory_count":36,"system_collection_count":190},{"id":"3a8471c5-2a11-4932-ba3e-7ab7d1ae7a1d","code":"ege-base","name":"Математика (база) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_base","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Базовый ЕГЭ по математике для получения аттестата","has_part2":false,"max_task_number":21,"exam_date":"2026-06-04","metadata":{"duration_minutes":180,"max_score":21,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":21,"part2_tasks":0,"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":1,"21":1},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","problem_count":8561,"theory_count":85,"system_collection_count":111},{"id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","code":"ege-prof","name":"Математика (профиль) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_prof","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Профильный ЕГЭ по математике для поступающих в технические вузы","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-06-08","metadata":{"duration_minutes":235,"max_score":33,"max_secondary_score":100,"max_task_number":20,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":13,"part2_tasks":7,"score_conversion":[0,6,11,17,22,27,34,40,46,52,58,64,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,95,96,97,98,99,100,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":2,"15":3,"16":2,"17":2,"18":3,"19":4,"20":4},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2026-08-30T23:51:20.728833Z","problem_count":2491,"theory_count":123,"system_collection_count":255},{"id":"b0db9506-ddcf-4200-8815-7a709ea0dc4e","code":"oge-math","name":"ОГЭ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"ff8f63b8-bfcc-47f3-9d55-bc666ee30237","program_code":"oge","exam_type":"ОГЭ","description":"Основной государственный экзамен по математике (9 класс): 25 заданий, 235 минут. Часть 1 — задания 1-19 с кратким ответом (1 балл), часть 2 — задания 20-25 с развёрнутым ответом (2 балла). Максимум 31 первичный балл, итоговая отметка 2-5.","has_part2":true,"max_task_number":25,"metadata":{"duration_minutes":235,"geometry_min_points":2,"geometry_min_points_note":"Для отметки выше 2 необходимо >=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]