Из пункта A в пункт B с постоянными скоростями выехали два мотоциклиста, а из B в A одновременно с ними выехал третий мотоциклист с постоянной скоростью 80 км/ч. Через 40 минут расстояние между первым и вторым было в два раза меньше, чем между первым и третьим. Через 1 час после старта расстояние между первым и вторым было равно расстоянию между первым и третьим, а также было равно половине расстояния, которое осталось проехать третьему до A. Через 1 час 20 минут после старта расстояние между первым и вторым было равно (2)/(5) расстояния между первым и третьим. Найдите расстояние между пунктами A и B.

Расположим дорогу на числовой прямой: пусть пункт A имеет координату 0, а пункт B — координату S (это и есть искомое расстояние между пунктами). Время будем измерять в часах от момента общего старта. Первый и второй мотоциклисты едут из A в B, то есть в сторону возрастания координаты, с постоянными скоростями v_1 и v_2 (км/ч). Третий едет из B в A, то есть в сторону убывания координаты, со скоростью 80 км/ч. Тогда в момент времени t их координаты равны x_1(t)=v_1 t, x_2(t)=v_2 t, x_3(t)=S-80t. Расстояния между мотоциклистами (они движутся по одной дороге): d_(12)(t)=|x_1-x_2|=|v_1-v_2|t, d_(13)(t)=|x_1-x_3|=|(v_1+80)t-S|. Переведём моменты наблюдения в часы: 40 минут =23 ч, 1 час, 1 час 20 минут =43 ч. **Условие при t=1.** Здесь дано сразу три равенства. Расстояние, которое осталось проехать третьему до A, в этот момент равно его координате x_3(1)=S-80 (предполагаем, что S>80, иначе третий уже был бы в A или за ним). По условию d_(12)(1)=d_(13)(1)=12(S-80). Из равенства d_(12)(1)=12(S-80) получаем |v_1-v_2|=(S-80)/(2). 1 Из равенства d_(13)(1)=12(S-80) получаем |(v_1+80)-S|=(S-80)/(2). 2 **Условие при t=23:** d_(12)(23)=12d_(13)(23), то есть 23|v_1-v_2|=12|23(v_1+80)-S|. 3 **Условие при t=43:** d_(12)(43)=25d_(13)(43), то есть 43|v_1-v_2|=25|43(v_1+80)-S|. 4 Обозначим для краткости a=|v_1-v_2|0 и s=v_1+80. Из (1) имеем a=(S-80)/(2). Раскроем модули в (2), (3), (4), учтя движение третьего навстречу первому. Координата x_3 убывает, поэтому выражение st-S=(v_1+80)t-S сначала отрицательно (первый ещё не доехал до точки встречи с третьим), а после их встречи становится положительным. Проверим единственный согласованный набор знаков и убедимся, что он даёт решение. Возьмём в (2) и (3) положительный знак st-S, а в раннем моменте t=23 — отрицательный (третий ещё приближается к первому). Тогда: из (2): (v_1+80)-S=(S-80)/(2), откуда v_1+80=(3S-80)/(2), то есть v_1=(3S-240)/(2). 2' из (3) (знак минус): 23 a=12(S-23(v_1+80)). Подставляя a=(S-80)/(2) и v_1+80=(3S-80)/(2): 23*(S-80)/(2)=12(S-23*(3S-80)/(2))=12(S-(3S-80)/(3))=12*(80)/(3). Левая часть равна (S-80)/(3), правая равна (40)/(3), значит S-80=40, то есть S=120. Проверим этим значением условие (4) (с положительным знаком st-S при t=43). При S=120 из (2') получаем v_1=(360-240)/(2)=60, а из (1) — a=|v_1-v_2|=(120-80)/(2)=20. Тогда 43a=43*20=(80)/(3), 25|43(v_1+80)-S|=25|43*140-120|=25*(200)/(3)=(80)/(3), равенство выполнено. Все четыре соотношения совместны. Итак, S=120 км, v_1=60 км/ч, а скорость второго находится из (1): |60-v_2|=20, то есть v_2=40 или v_2=80 км/ч (оба значения дают одни и те же расстояния между мотоциклистами и не влияют на ответ; при естественном чтении «второй медленнее первого» это v_2=40 км/ч). **Проверка по моментам наблюдения** (берём v_2=40): | момент | x_1 | x_2 | x_3 | d_(12) | d_(13) | |---|---|---|---|---|---| | t=23 | 40 | (80)/(3) | (200)/(3) | (40)/(3) | (80)/(3) | | t=1 | 60 | 40 | 40 | 20 | 20 | | t=43 | 80 | (160)/(3) | (40)/(3) | (80)/(3) | (200)/(3) | В первой строке d_(12)=(40)/(3)=12*(80)/(3)=12 d_(13). Во второй строке d_(12)=d_(13)=20 и при этом d_(13)=20=12(120-80)=12 x_3(1) — половина остатка пути третьего до A. В третьей строке d_(12)=(80)/(3)=25*(200)/(3)=25 d_(13). Все условия задачи выполнены. Заметим попутно, что первый и третий встречаются в момент t=(S)/(v_1+80)=(120)/(140)=67 ч ~51,4 мин — он лежит между 40 минутами и 1 часом, чем и объясняется смена знака под модулем в d_(13) между этими наблюдениями. Ответ: расстояние между пунктами A и B равно 120 км.

120 км