Задача №18070

Из пункта $A$ в пункт $B$ с постоянными скоростями выехали два мотоциклиста, а из $B$ в $A$ одновременно с ними выехал третий мотоциклист с постоянной скоростью 80 км/ч. Через 40 минут расстояние между первым и вторым было в два раза меньше, чем между первым и третьим. Через 1 час после старта расстояние между первым и вторым было равно расстоянию между первым и третьим, а также было равно половине расстояния, которое осталось проехать третьему до $A\text{.}$ Через 1 час 20 минут после старта расстояние между первым и вторым было равно $\frac{2}{5}$ расстояния между первым и третьим. Найдите расстояние между пунктами $A$ и $B\text{.}$

Расположим дорогу на числовой прямой: пусть пункт $A$ имеет координату $0\text{,}$ а пункт $B$ — координату $S$ (это и есть искомое расстояние между пунктами). Время будем измерять в часах от момента общего старта.

Первый и второй мотоциклисты едут из $A$ в $B\text{,}$ то есть в сторону возрастания координаты, с постоянными скоростями $v_1$ и $v_2$ (км/ч). Третий едет из $B$ в $A\text{,}$ то есть в сторону убывания координаты, со скоростью $80$ км/ч. Тогда в момент времени $t$ их координаты равны

Расстояния между мотоциклистами (они движутся по одной дороге):

Переведём моменты наблюдения в часы: $40$ минут $=\frac{2}{3}$ ч, $1$ час, $1$ час $20$ минут $=\frac{4}{3}$ ч.

Условие при $t=1\text{.}$ Здесь дано сразу три равенства. Расстояние, которое осталось проехать третьему до $A\text{,}$ в этот момент равно его координате $x_3(1)=S-80$ (предполагаем, что $S>80\text{,}$ иначе третий уже был бы в $A$ или за ним). По условию

Из равенства $d_{12}(1)=\frac{1}{2}(S-80)$ получаем

Из равенства $d_{13}(1)=\frac{1}{2}(S-80)$ получаем

Условие при $t=\frac{2}{3}\text{:}$ $d_{12}\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{1}{2}{d}_{13}\left(\frac{2}{3}\right)\text{,}$ то есть

Условие при $t=\frac{4}{3}\text{:}$ $d_{12}\left(\frac{4}{3}\right)=\frac{2}{5}{d}_{13}\left(\frac{4}{3}\right)\text{,}$ то есть

Обозначим для краткости $a=|v_1-v_2|\ge 0$ и $s=v_1+80\text{.}$ Из $(1)$ имеем $a=\frac{S-80}{2}\text{.}$ Раскроем модули в $(2)\text{,}$ $(3)\text{,}$ $(4)\text{,}$ учтя движение третьего навстречу первому. Координата $x_3$ убывает, поэтому выражение $st-S=(v_1+80)t-S$ сначала отрицательно (первый ещё не доехал до точки встречи с третьим), а после их встречи становится положительным. Проверим единственный согласованный набор знаков и убедимся, что он даёт решение.

Возьмём в $(2)$ и $(3)$ положительный знак $st-S\text{,}$ а в раннем моменте $t=\frac{2}{3}$ — отрицательный (третий ещё приближается к первому). Тогда:

из $(2)\text{:}$ $(v_1+80)-S=\frac{S-80}{2}\text{,}$ откуда $v_1+80=\frac{3S-80}{2}\text{,}$ то есть

из $(3)$ (знак минус): $\frac{2}{3}a=\frac{1}{2}\left(S-\frac{2}{3}(v_1+80)\right)\text{.}$ Подставляя $a=\frac{S-80}{2}$ и $v_1+80=\frac{3S-80}{2}\text{:}$

Левая часть равна $\frac{S-80}{3}\text{,}$ правая равна $\frac{40}{3}\text{,}$ значит $S-80=40\text{,}$ то есть

Проверим этим значением условие $(4)$ (с положительным знаком $st-S$ при $t=\frac{4}{3}$). При $S=120$ из $(2^{\prime })$ получаем $v_1=\frac{360-240}{2}=60\text{,}$ а из $(1)$ — $a=|v_1-v_2|=\frac{120-80}{2}=20\text{.}$ Тогда

равенство выполнено. Все четыре соотношения совместны.

Итак, $S=120$ км, $v_1=60$ км/ч, а скорость второго находится из $(1)\text{:}$ $|60-v_2|=20\text{,}$ то есть $v_2=40$ или $v_2=80$ км/ч (оба значения дают одни и те же расстояния между мотоциклистами и не влияют на ответ; при естественном чтении «второй медленнее первого» это $v_2=40$ км/ч).

Проверка по моментам наблюдения (берём $v_2=40$):

В первой строке $d_{12}=\frac{40}{3}=\frac{1}{2}\cdot \frac{80}{3}=\frac{1}{2}{d}_{13}\text{.}$ Во второй строке $d_{12}=d_{13}=20$ и при этом $d_{13}=20=\frac{1}{2}(120-80)=\frac{1}{2}{x}_3(1)$ — половина остатка пути третьего до $A\text{.}$ В третьей строке $d_{12}=\frac{80}{3}=\frac{2}{5}\cdot \frac{200}{3}=\frac{2}{5}{d}_{13}\text{.}$ Все условия задачи выполнены.

Заметим попутно, что первый и третий встречаются в момент $t=\frac{S}{v_1+80}=\frac{120}{140}=\frac{6}{7}$ ч $\approx 51,4$ мин — он лежит между $40$ минутами и $1$ часом, чем и объясняется смена знака под модулем в $d_{13}$ между этими наблюдениями.

Ответ: расстояние между пунктами $A$ и $B$ равно $120$ км.