Точки P, Q, R и S расположены в пространстве так, что середины отрезков SQ и PR лежат на сфере с радиусом a, а отрезки PS, PQ, QR и SR делятся сферой на три части в отношении 1:2:1 каждый. Найдите расстояние от точки P до прямой QR.

Пусть O — центр сферы, a — её радиус. Точки будем задавать их радиус-векторами из центра O; для краткости пишем P,Q,R,S как векторы, а скалярное произведение — точкой. Принадлежность точки X сфере означает |X|=a, то есть X* X=a^2. **Расшифровка условия «делится сферой в отношении 1:2:1».** Если отрезок XY пересекает сферу в двух точках и делится ими на три части в отношении 1:2:1, то эти точки делят отрезок в долях t=14 и t=34, считая от X. Точка отрезка с параметром t есть X+t(Y-X), и условие её принадлежности сфере — это |X+t(Y-X)|^2=a^2, то есть квадратное уравнение относительно t: |Y-X|^2t^2+2X*(Y-X)t+(|X|^2-a^2)=0, корни которого равны t_1=14, t_2=34. По теореме Виета сумма корней t_1+t_2=1 даёт -(2X*(Y-X))/(|Y-X|^2)=1 X*(Y-X)=-12|Y-X|^2. Раскрывая, получаем X* Y-|X|^2=-12(|X|^2-2X* Y+|Y|^2), откуда после упрощения |X|^2=|Y|^2. Итак, **оба конца каждого такого отрезка равноудалены от центра** O (что естественно: точки деления t=14 и t=34 симметричны относительно середины отрезка). Произведение корней t_1 t_2=(3)/(16) даёт (|X|^2-a^2)/(|Y-X|^2)=(3)/(16). Поскольку |X|=|Y|, имеем |Y-X|^2=2|X|^2-2X* Y, и предыдущее равенство превращается в |X|^2-a^2=(3)/(8)(|X|^2-X* Y).1 **Все четыре точки лежат на одной сфере с центром O.** Условие 1:2:1 дано для отрезков PS, PQ, QR, SR. Из равенства модулей концов: |P|=|S|, |P|=|Q|, |Q|=|R|, |S|=|R|, а значит |P|=|Q|=|R|=|S|=:. Обозначим ^2=P* P= Подставляя в (1) для каждой из пар (P,S),(P,Q),(Q,R),(S,R) (у всех |X|^2=^2), получаем одинаковое значение скалярного произведения для всех четырёх «боковых» пар: P* S=P* Q=Q* R=S* R=:D, ^2-a^2=(3)/(8)(^2-D). Отсюда D=^2-(8)/(3)(^2-a^2)=(8)/(3)a^2-(5)/(3)^2.2 **Условия на середины диагональных отрезков.** Середины SQ и PR лежат на сфере: |(S+Q)/(2)|=a |S+Q|^2=4a^2 |S|^2+|Q|^2+2S* Q=4a^2, а так как |S|^2=|Q|^2=^2, S* Q=2a^2-^2. Аналогично из середины PR: P* R=2a^2-^2.3 **Уравнение на ^2.** Радиус-векторы P,Q,R,S — это четыре вектора в трёхмёрном пространстве, поэтому они линейно зависимы, и определитель их матрицы Грама обязан равняться нулю. Матрица Грама (порядок P,Q,R,S) с учётом P* Q=Q* R=R* S=S* P=D, P* R=Q* S=2a^2-^2 имеет вид G=pmatrix ^2 & D & 2a^2-^2 & D D & ^2 & D & 2a^2-^2 2a^2-^2 & D & ^2 & D D & 2a^2-^2 & D & ^2 pmatrix, D=(8)/(3)a^2-(5)/(3)^2. Вычисление определителя даёт (обозначим u=^2) G=-(400)/(9)u^4+(2080)/(9)a^2u^3-(1280)/(3)a^4u^2+(3040)/(9)a^6u-(880)/(9)a^8=0, и это уравнение распадается так, что ^2=a^2 или ^2=(11)/(5)a^2. **Отбор корня.** При ^2=a^2 из (2) получаем D=a^2, из (3) — P* R=a^2, то есть все скалярные произведения равны a^2, а ранг матрицы Грама равен 1: это означает, что все четыре точки совпадают (вырожденная, нереализуемая конфигурация — отрезки превращаются в точки). Этот корень посторонний. При ^2=(11)/(5)a^2 имеем D=(8)/(3)a^2-(5)/(3)*(11)/(5)a^2=-a^2, P* R=Q* S=2a^2-(11)/(5)a^2=-(1)/(5)a^2. Матрица Грама имеет ранг 3 и неотрицательные собственные значения (в долях a^2: 4, (12)/(5), (12)/(5), 0), значит конфигурация реализуема в пространстве. Берём этот корень. **Искомое расстояние.** Расстояние от точки P до прямой QR вычислим по формуле d^2=|P-Q|^2-(((P-Q)*(R-Q))^2)/(|R-Q|^2). Подставляем найденные величины (^2=(11)/(5)a^2, D=-a^2, P* R=-15a^2): |P-Q|^2=2^2-2P* Q=2^2-2D=(22)/(5)a^2+2a^2=(32)/(5)a^2, |R-Q|^2=2^2-2Q* R=(32)/(5)a^2, (P-Q)*(R-Q)=P* R-P* Q-Q* R+Q* Q=-15a^2-(-a^2)-(-a^2)+(11)/(5)a^2=4a^2. Тогда d^2=(32)/(5)a^2-((4a^2)^2)/((32)/(5)a^2)=(32)/(5)a^2-(16a^4)/((32)/(5)a^2)=(32)/(5)a^2-(5)/(2)a^2=(64-25)/(10)a^2=(39)/(10)a^2. Следовательно d=asqrt((39)/(10))=asqrt(3,9)=(asqrt(390))/(10). **Ответ:** расстояние от точки P до прямой QR равно asqrt(3,9).

\(a\sqrt{3{,}9}\)