Найдите все значения b, при которых уравнение 9^x+(b^2+6)3^x-b^2+16=0 не имеет решения.

Введём замену t = 3^x . Поскольку показательная функция принимает все положительные значения и только их, переменная t пробегает всё множество t > 0 , причём каждому t > 0 отвечает ровно одно x . Заметив, что 9^x = (3^x)^2 = t^2 , исходное уравнение 9^x + (b^2+6)3^x - b^2 + 16 = 0 равносильно квадратному уравнению относительно t : t^2 + (b^2+6)t + (16 - b^2) = 0 () при дополнительном условии t > 0 . Таким образом, исходное уравнение **имеет решение** тогда и только тогда, когда уравнение () имеет хотя бы один **положительный** корень. Соответственно, нам нужны те b , при которых уравнение () **не имеет ни одного положительного корня**. **Ключевое наблюдение: знак суммы корней.** Обозначим g(t) = t^2 + (b^2+6)t + (16 - b^2) . По теореме Виета для корней t_1, t_2 уравнения () : t_1 + t_2 = -(b^2+6), t_1 t_2 = 16 - b^2. Сумма корней t_1 + t_2 = -(b^2+6) при любом действительном b **строго отрицательна** (так как b^2 + 6 6 > 0 ). Это означает, что у уравнения () не может быть двух положительных корней: если бы оба корня были положительны, их сумма была бы положительна. Следовательно, положительный корень (если он есть) может быть только один, и его наличие полностью определяется знаком произведения корней t_1 t_2 = 16 - b^2 , то есть знаком свободного члена. Разберём случаи по знаку величины C = 16 - b^2 . **Случай 1: C < 0 , то есть b^2 > 16 , |b| > 4 .** Произведение корней отрицательно, значит, корни действительны (дискриминант положителен, ведь произведение комплексно-сопряжённых корней было бы положительным) и имеют разные знаки. Один корень положителен, другой отрицателен. Положительный корень существует, значит, при |b| > 4 исходное уравнение **имеет** решение. Эти значения b нам не подходят. **Случай 2: C = 0 , то есть b^2 = 16 , b = +- 4 .** Тогда () принимает вид t^2 + (b^2+6)t = 0 , то есть t(t + (b^2+6)) = 0 . Корни: t = 0 и t = -(b^2+6) < 0 . Корень t = 0 не годится, так как требуется строго t > 0 (значение 3^x = 0 недостижимо), а второй корень отрицателен. Положительных корней нет — исходное уравнение **не имеет** решения. Значения b = +- 4 **подходят**. **Случай 3: C > 0 , то есть b^2 < 16 , |b| < 4 .** Произведение корней положительно: оба корня (если они действительны) одного знака. А поскольку сумма корней отрицательна, оба корня в этом случае отрицательны. Если же дискриминант отрицателен, действительных корней нет вовсе. В любом из этих подслучаев положительного корня нет — исходное уравнение **не имеет** решения. Значения |b| < 4 **подходят**. (Заметим, что отдельный анализ дискриминанта D = (b^2+6)^2 - 4(16-b^2) = b^4 + 16b^2 - 28 здесь не требуется: знак свободного члена уже полностью решает вопрос о наличии положительного корня благодаря отрицательности суммы корней.) **Объединение случаев.** Исходное уравнение не имеет решений в случаях 2 и 3, то есть при C 0 , что равносильно 16 - b^2 0 , то есть b^2 16 , или -4 b 4. При |b| > 4 (случай 1) уравнение имеет решение, поэтому такие b исключаются. **Геометрическая проверка границ.** Удобно посмотреть на функцию h(x) = 9^x + (b^2+6)3^x + (16-b^2) как функцию от t = 3^x > 0 : g(t) = t^2 + (b^2+6)t + (16-b^2) . Вершина параболы g находится в точке t_(в) = -(b^2+6)/(2) < 0 , то есть левее нуля. Значит, на луче t > 0 функция g строго возрастает, и её точная нижняя грань на этом луче равна g(0^+) = 16 - b^2 (достигается в пределе при t 0^+ , но не достигается). Поэтому при 16 - b^2 0 выполнено g(t) > 16 - b^2 0 для всех t > 0 — корней на луче нет; при 16 - b^2 < 0 функция g меняет знак на (0; +inf) , и корень есть. Это в точности подтверждает условие -4 b 4 , включая граничные b = +- 4 (там нижняя грань равна нулю, но не достигается, так что уравнение всё же не имеет решения). **Ответ:** b in [-4;4] .

\([-4;4]\)