Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Задачи повышенной сложности
Мехмат МГУ (архив)
Найдите все значения b, при которых уравнение
9x+(b2+6)3x−b2+16=0не имеет решения.
Введём замену t=3x. Поскольку показательная функция принимает все положительные значения и только их, переменная t пробегает всё множество t>0, причём каждому t>0 отвечает ровно одно x. Заметив, что 9x=(3x)2=t2, исходное уравнение
9x+(b2+6)3x−b2+16=0равносильно квадратному уравнению относительно t:
t2+(b2+6)t+(16−b2)=0(∗)при дополнительном условии t>0.
Таким образом, исходное уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда уравнение (∗) имеет хотя бы один положительный корень. Соответственно, нам нужны те b, при которых уравнение (∗) не имеет ни одного положительного корня.
Ключевое наблюдение: знак суммы корней. Обозначим g(t)=t2+(b2+6)t+(16−b2). По теореме Виета для корней t1,t2 уравнения (∗):
t1+t2=−(b2+6),t1t2=16−b2.Сумма корней t1+t2=−(b2+6) при любом действительном b строго отрицательна (так как b2+6⩾6>0). Это означает, что у уравнения (∗) не может быть двух положительных корней: если бы оба корня были положительны, их сумма была бы положительна. Следовательно, положительный корень (если он есть) может быть только один, и его наличие полностью определяется знаком произведения корней t1t2=16−b2, то есть знаком свободного члена.
Разберём случаи по знаку величины C=16−b2.
Случай 1: C<0, то есть b2>16, ∣b∣>4.
Произведение корней отрицательно, значит, корни действительны (дискриминант положителен, ведь произведение комплексно-сопряжённых корней было бы положительным) и имеют разные знаки. Один корень положителен, другой отрицателен. Положительный корень существует, значит, при ∣b∣>4 исходное уравнение имеет решение. Эти значения b нам не подходят.
Случай 2: C=0, то есть b2=16, b=±4.
Тогда (∗) принимает вид t2+(b2+6)t=0, то есть t(t+(b2+6))=0. Корни: t=0 и t=−(b2+6)<0. Корень t=0 не годится, так как требуется строго t>0 (значение 3x=0 недостижимо), а второй корень отрицателен. Положительных корней нет — исходное уравнение не имеет решения. Значения b=±4 подходят.
Случай 3: C>0, то есть b2<16, ∣b∣<4.
Произведение корней положительно: оба корня (если они действительны) одного знака. А поскольку сумма корней отрицательна, оба корня в этом случае отрицательны. Если же дискриминант отрицателен, действительных корней нет вовсе. В любом из этих подслучаев положительного корня нет — исходное уравнение не имеет решения. Значения ∣b∣<4 подходят.
(Заметим, что отдельный анализ дискриминанта D=(b2+6)2−4(16−b2)=b4+16b2−28 здесь не требуется: знак свободного члена уже полностью решает вопрос о наличии положительного корня благодаря отрицательности суммы корней.)
Объединение случаев. Исходное уравнение не имеет решений в случаях 2 и 3, то есть при C⩾0, что равносильно 16−b2⩾0, то есть b2⩽16, или
−4⩽b⩽4.При ∣b∣>4 (случай 1) уравнение имеет решение, поэтому такие b исключаются.
Геометрическая проверка границ. Удобно посмотреть на функцию h(x)=9x+(b2+6)3x+(16−b2) как функцию от t=3x>0: g(t)=t2+(b2+6)t+(16−b2). Вершина параболы g находится в точке tв=−2b2+6<0, то есть левее нуля. Значит, на луче t>0 функция g строго возрастает, и её точная нижняя грань на этом луче равна g(0+)=16−b2 (достигается в пределе при t→0+, но не достигается). Поэтому при 16−b2⩾0 выполнено g(t)>16−b2⩾0 для всех t>0 — корней на луче нет; при 16−b2<0 функция g меняет знак на (0;+∞), и корень есть. Это в точности подтверждает условие −4⩽b⩽4, включая граничные b=±4 (там нижняя грань равна нулю, но не достигается, так что уравнение всё же не имеет решения).
Ответ: b∈[−4;4].