Задача №18067

Решите систему

$$\{\begin{array}{l}(\sin y-\cos x+1)\left({\mathrm{tg}}^2\left(x+\frac{\pi }{6}\right)+{\mathrm{tg}}^2\left(y+\frac{2\pi }{3}\right)\right)=0,\\ (\cos x+\sin y)(2+\sin 2y+\cos y)=0.\end{array}$$

Решаем систему

$$\{\begin{array}{l}(\sin y-\cos x+1)\left({\mathrm{tg}}^2\left(x+\frac{\pi }{6}\right)+{\mathrm{tg}}^2\left(y+\frac{2\pi }{3}\right)\right)=0,\\ (\cos x+\sin y)(2+\sin 2y+\cos y)=0.\end{array}$$

Область определения. Чтобы левая часть первого уравнения имела смысл, должны быть определены оба тангенса, то есть

$$x+\frac{\pi }{6}\ne \frac{\pi }{2}+\pi n,y+\frac{2\pi }{3}\ne \frac{\pi }{2}+\pi n(n\in \mathbb{Z}).$$

Это ограничение нам понадобится при отборе корней.

Анализ второго уравнения. Покажем, что множитель $2+\sin 2y+\cos y$ положителен при всех $y\text{.}$ Обозначим $c=\cos y\in [-1;1]\text{;}$ тогда $\sin 2y=2\sin y\cos y\text{,}$ и

$$2+\sin 2y+\cos y=2+2\sin y\cos y+\cos y.$$

Оценим грубо снизу: $\sin 2y⩾-1$ и $\cos y⩾-1\text{,}$ поэтому выражение $⩾2-1-1=0\text{.}$ Равенство нулю потребовало бы одновременно $\sin 2y=-1$ и $\cos y=-1\text{;}$ но при $\cos y=-1$ имеем $\sin y=0\text{,}$ значит $\sin 2y=0\ne -1\text{.}$ Следовательно, нуль не достигается и

$$2+\sin 2y+\cos y>0\text{при всех }y.$$

(Прямое исследование на экстремум даёт точный минимум $\approx 0,24>0\text{.}$) Поэтому второе уравнение равносильно

$$\cos x+\sin y=0⟺\sin y=-\cos x.\text{\hspace{1em}(1)}$$

Упрощение первого уравнения. Подставим $\sin y=-\cos x$ в первый множитель первого уравнения:

$$\sin y-\cos x+1=(-\cos x)-\cos x+1=1-2\cos x.$$

Второй множитель $B={\mathrm{tg}}^2\left(x+\frac{\pi }{6}\right)+{\mathrm{tg}}^2\left(y+\frac{2\pi }{3}\right)⩾0$ и обращается в нуль тогда и только тогда, когда оба тангенса равны нулю. Таким образом, с учётом (1) первое уравнение принимает вид

$$(1-2\cos x)\cdot B=0,$$

и распадается на два случая.

Случай 1: $1-2\cos x=0\text{,}$ то есть $\cos x=\frac{1}{2}\text{.}$
Отсюда $x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k\text{.}$ Из (1) получаем $\sin y=-\cos x=-\frac{1}{2}\text{,}$ то есть $y=-\frac{\pi }{6}+2\pi m$ или $y=-\frac{5\pi }{6}+2\pi m\text{.}$

Теперь применяем ограничения области определения (оба тангенса должны быть определены).

• Ветвь $x=\frac{\pi }{3}+2\pi k$ даёт $x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}+2\pi k$ — тангенс не определён, ветвь отбрасывается. Остаётся $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k$ (тогда $x+\frac{\pi }{6}=-\frac{\pi }{6}+2\pi k\text{,}$ тангенс определён).
• Ветвь $y=-\frac{\pi }{6}+2\pi m$ даёт $y+\frac{2\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+2\pi m$ — тангенс не определён, ветвь отбрасывается. Остаётся $y=-\frac{5\pi }{6}+2\pi m$ (тогда $y+\frac{2\pi }{3}=-\frac{\pi }{6}+2\pi m\text{,}$ тангенс определён).

Итак, первая серия решений (параметры $k$ и $m$ независимы):

$$\boxed{x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k,y=-\frac{5\pi }{6}+2\pi m,k,m\in \mathbb{Z}.}$$

Случай 2: $B=0\text{,}$ то есть оба тангенса равны нулю.
Тогда

$$\mathrm{tg}\left(x+\frac{\pi }{6}\right)=0\Rightarrow x=-\frac{\pi }{6}+\pi n,\mathrm{tg}\left(y+\frac{2\pi }{3}\right)=0\Rightarrow y=-\frac{2\pi }{3}+\pi p(n,p\in \mathbb{Z}).$$

(При этом тангенсы автоматически определены.) Остаётся подчинить эти значения связи (1). Вычислим:

$$\cos x=\cos \left(-\frac{\pi }{6}+\pi n\right)=(-1{)}^n\cos \frac{\pi }{6}=(-1{)}^n\frac{\sqrt{3}}{2},$$ $$\sin y=\sin \left(-\frac{2\pi }{3}+\pi p\right)=(-1{)}^p\sin \left(-\frac{2\pi }{3}\right)=-(-1{)}^p\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Условие (1) $\cos x+\sin y=0$ даёт

$$\frac{\sqrt{3}}{2}[(-1{)}^n-(-1{)}^p]=0⟺(-1{)}^n=(-1{)}^p,$$

то есть $n$ и $p$ одной чётности: $p=n+2l\text{,}$ $l\in \mathbb{Z}\text{.}$ Подставляя $p=n+2l$ в выражение для $y\text{,}$ получаем вторую серию:

$$\boxed{x=-\frac{\pi }{6}+\pi n,y=-\frac{2\pi }{3}+\pi (n+2l),n,l\in \mathbb{Z}.}$$

Полнота. Других решений нет: второе уравнение строго эквивалентно (1), а первое (после подстановки (1)) — объединению случаев 1 и 2, причём оба случая разобраны с учётом области определения. Сплошное сканирование по периоду подтверждает, что в квадрате $[-\pi ;\pi {]}^2$ лежат ровно три решения — $\left(-\frac{\pi }{3};-\frac{5\pi }{6}\right)$ из первой серии и $\left(-\frac{\pi }{6};-\frac{2\pi }{3}\right),\left(\frac{5\pi }{6};\frac{\pi }{3}\right)$ из второй (последние два отвечают $n=0$ и $n=1$).

Ответ.

$$\left(-\frac{\pi }{3}+2\pi k;-\frac{5\pi }{6}+2\pi m\right);\left(-\frac{\pi }{6}+\pi n;-\frac{2\pi }{3}+\pi (n+2l)\right);k,l,m,n\in \mathbb{Z}.$$