Задача №18065

Решите неравенство

$$\frac{\sqrt[3]{7}}{{\log }_{x-1}17}⩾\frac{{\log }_{17}(x-1)}{{\log }_{291}17}.$$

Требуется решить неравенство

$$\frac{\sqrt[3]{7}}{{\log }_{x-1}17}⩾\frac{{\log }_{17}(x-1)}{{\log }_{291}17}.$$

Область допустимых значений. В левой части стоит логарифм ${\log }_{x-1}17$ с основанием $x-1\text{,}$ поэтому необходимо $x-1>0$ и $x-1\ne 1\text{,}$ то есть $x>1$ и $x\ne 2\text{.}$ В правой части присутствует ${\log }_{17}(x-1)\text{,}$ что требует лишь $x-1>0\text{.}$ Итого ОДЗ:

$$x>1,x\ne 2.$$

На этой области все логарифмы определены, а основания 17 и 291 больше единицы, так что ${\log }_{291}17>0\text{.}$

Сведение к одной переменной. Введём обозначение

$$u={\log }_{17}(x-1).$$

По свойству перехода к обратному основанию

$${\log }_{x-1}17=\frac{1}{{\log }_{17}(x-1)}=\frac{1}{u},$$

причём это выражение имеет смысл при $u\ne 0\text{,}$ то есть при $x-1\ne 1$ — что как раз и обеспечено условием $x\ne 2$ из ОДЗ. Тогда левая часть превращается в

$$\frac{\sqrt[3]{7}}{{\log }_{x-1}17}=\frac{\sqrt[3]{7}}{1/u}=\sqrt[3]{7}\cdot u.$$

Правую часть преобразуем, перейдя по формуле смены основания $\frac{1}{{\log }_{291}17}={\log }_{17}291\text{:}$

$$\frac{{\log }_{17}(x-1)}{{\log }_{291}17}=u\cdot {\log }_{17}291.$$

Неравенство принимает вид

$$\sqrt[3]{7}\cdot u⩾u\cdot {\log }_{17}291,$$

или после переноса всего влево

$$u(\sqrt[3]{7}-{\log }_{17}291)⩾0.\text{\hspace{1em}(*)}$$

Знак постоянного множителя. Сравним числа $\sqrt[3]{7}$ и ${\log }_{17}291$ с числом 2.

Во-первых, $\sqrt[3]{7}<2\text{,}$ поскольку $2^3=8>7\text{.}$

Во-вторых, ${\log }_{17}291>2\text{,}$ поскольку $17^2=289<291\text{,}$ а логарифм по основанию, большему единицы, монотонно возрастает.

Следовательно,

$$\sqrt[3]{7}<2<{\log }_{17}291,\text{откуда}\sqrt[3]{7}-{\log }_{17}291<0.$$

Множитель $c=\sqrt[3]{7}-{\log }_{17}291$ отрицателен.

Решение неравенства $(\ast )\text{.}$ Так как $c<0\text{,}$ неравенство $u\cdot c⩾0$ равносильно

$$u⩽0,\text{то есть}{\log }_{17}(x-1)⩽0.$$

Поскольку основание 17 больше единицы, это эквивалентно

$$0<x-1⩽17^0=1,\text{то есть}1<x⩽2.$$

Учёт ОДЗ. Из найденного множества $1<x⩽2$ нужно исключить точку $x=2\text{,}$ не входящую в ОДЗ (при $x=2$ основание $x-1=1\text{,}$ и логарифм ${\log }_{x-1}17$ не определён; в терминах $u$ это случай $u=0\text{,}$ при котором левая часть исходного неравенства не существует). Остаётся

$$1<x<2.$$

Проверка краёв. При $x\to 1^{+}$ имеем $u={\log }_{17}(x-1)\to -\infty \text{,}$ множитель $c<0\text{,}$ произведение $u\cdot c\to +\infty >0$ — неравенство выполнено; точка $x=1$ не входит (граница ОДЗ). При $x\to 2^{-}$ величина $u\to 0^{-}\text{,}$ $u\cdot c\to 0^{+}⩾0$ — выполнено, но сама точка $x=2$ исключена. При $x>2$ получаем $u>0\text{,}$ тогда $u\cdot c<0$ — неравенство не выполняется. Всё согласуется.

Ответ:

$$\boxed{(1;2)}.$$