Решите неравенство ([3]7)/(_(x-1)17)(_(17)(x-1))/(_(291)17).

Требуется решить неравенство ([3]7)/(_(x-1)17)(_(17)(x-1))/(_(291)17). **Область допустимых значений.** В левой части стоит логарифм _(x-1)17 с основанием x-1, поэтому необходимо x-1>0 и x-1!= 1, то есть x>1 и x!= 2. В правой части присутствует _(17)(x-1), что требует лишь x-1>0. Итого ОДЗ: x>1, x!= 2. На этой области все логарифмы определены, а основания 17 и 291 больше единицы, так что _(291)17>0. **Сведение к одной переменной.** Введём обозначение u=_(17)(x-1). По свойству перехода к обратному основанию _(x-1)17=(1)/(_(17)(x-1))=1u, причём это выражение имеет смысл при u!= 0, то есть при x-1!= 1 — что как раз и обеспечено условием x!= 2 из ОДЗ. Тогда левая часть превращается в ([3]7)/(_(x-1)17)=([3]7)/(1/u)=[3]7* u. Правую часть преобразуем, перейдя по формуле смены основания (1)/(_(291)17)=_(17)291: (_(17)(x-1))/(_(291)17)=u*_(17)291. Неравенство принимает вид [3]7* u u*_(17)291, или после переноса всего влево u([3]7-_(17)291) 0. * **Знак постоянного множителя.** Сравним числа [3]7 и _(17)291 с числом 2. Во-первых, [3]7<2, поскольку 2^3=8>7. Во-вторых, _(17)291>2, поскольку 17^2=289<291, а логарифм по основанию, большему единицы, монотонно возрастает. Следовательно, [3]7<2<_(17)291, откуда [3]7-_(17)291<0. Множитель c=[3]7-_(17)291 отрицателен. **Решение неравенства ().** Так как c<0, неравенство u* c 0 равносильно u 0, то есть _(17)(x-1) 0. Поскольку основание 17 больше единицы, это эквивалентно 0<x-1 17^(0)=1, то есть 1<x 2. **Учёт ОДЗ.** Из найденного множества 1<x 2 нужно исключить точку x=2, не входящую в ОДЗ (при x=2 основание x-1=1, и логарифм _(x-1)17 не определён; в терминах u это случай u=0, при котором левая часть исходного неравенства не существует). Остаётся 1<x<2. **Проверка краёв.** При x 1^(+) имеем u=_(17)(x-1)-inf, множитель c<0, произведение u* c+inf>0 — неравенство выполнено; точка x=1 не входит (граница ОДЗ). При x 2^(-) величина u 0^(-), u* c 0^(+) 0 — выполнено, но сама точка x=2 исключена. При x>2 получаем u>0, тогда u* c<0 — неравенство не выполняется. Всё согласуется. **Ответ:** (1;2).

\((1;2)\)