В треугольнике PQR медиана, проведённая из вершины Q, имеет длину (3sqrt(21))/(4). Окружности с центрами в вершинах P и R и радиусами 5 и 1 соответственно касаются друг друга, а вершина Q лежит на прямой, касающейся каждой из окружностей. Найдите площадь S треугольника PQR, если известно, что S<7.

Введём прямую , на которой лежит вершина Q и которая касается обеих окружностей. Так как окружность с центром P и радиусом 5 касается , расстояние от P до равно 5; аналогично расстояние от R до равно 1. Введём систему координат: прямую примем за ось абсцисс. Тогда Q=(q;0) , а центры лежат на высотах, равных радиусам: P=(p;_P* 5), R=(r;_R* 1), где _P,_Rin+1,-1 задают, по какую сторону от лежит центр. Отражением всей картины относительно можно считать _P=+1 , то есть P=(p;5) . **Условие касания окружностей.** Окружности радиусов 5 и 1 касаются друг друга, значит расстояние между центрами равно либо 5+1=6 (внешнее касание), либо 5-1=4 (внутреннее касание): PR^2=(p-r)^2+(5-_R)^2=cases36, 16.cases **Сторона, по которую лежат центры.** Если _R=+1 (центры по одну сторону от ) — это общая внешняя касательная. Если _R=-1 (по разные стороны) — общая внутренняя касательная; она существует лишь при внешнем касании окружностей, причём проходит через точку касания, что даёт (p-r)^2=36-36=0 . Случай _R=-1, PR=4 невозможен: (p-r)^2=16-36<0 . **Условие на медиану.** Медиана из Q идёт в середину M стороны PR : M=((p+r)/(2);(5+_R)/(2)), QM^2=(q-(p+r)/(2))^2+((5+_R)/(2))^2=((3sqrt(21))/(4))^2=(189)/(16). **Площадь.** Беря Q за начало (сдвиг вдоль не меняет площади), получаем S=12|p*_R-5* r|. Можно показать, что при фиксированных знаках _R и типе касания величины (p-r)^2 и (q-(p+r)/(2))^2 определены однозначно, а сдвиг u=(p+r)/(2) в выражение для S не входит (производная по u равна нулю), поэтому S принимает лишь конечный набор значений. **Разбор основного случая (общая внешняя касательная, внешнее касание).** Пусть _R=+1, PR=6 . Тогда (p-r)^2=36-(5-1)^2=20, (q-(p+r)/(2))^2=(189)/(16)-((5+1)/(2))^2=(189)/(16)-9=(45)/(16). Положив (p+r)/(2)=0 , берём p=5, r=-5 и q=+-(35)/(4) . Тогда P=(5;5), R=(-5;1) , и S=12|p* 1-5r|=12|5+55|=(1)/(2)* 65=35 — это для q , дающего тупой раствор; для второго положения Q (знак q меняет ориентацию) выражение под модулем уменьшается, и аккуратный подсчёт по координатам даёт два значения площади: Sin(95)/(2), (35)/(2). Прямая проверка по формуле площади через координаты подтверждает: при q=(35)/(4) получается S=(95)/(2)~ 10,06 , а при q=-(35)/(4) — S=(35)/(2)~ 3,35 ; в обоих случаях медиана равна (3sqrt(21))/(4) , |PR|=6 , расстояния до касательной равны 5 и 1. **Остальные случаи.** При внутреннем касании ( _R=+1, PR=4 ) выходит p=r (центры на одной вертикали, касательная — в точке касания), и p^2=(189)/(16)-9=(45)/(16), p=(35)/(4), S=12|p-5p|=2|p|=(35)/(2)~ 3,35. При общей внутренней касательной ( _R=-1, PR=6 ): p=r , P=(p;5),R=(p;-1) , p^2=(189)/(16)-4=(125)/(16), |p|=(55)/(4), S=12* |PR|*|p|=12* 6*(55)/(4)=(155)/(4)~ 8,39. **Итог.** Все геометрически допустимые конфигурации дают площадь из набора Sin(35)/(2), (155)/(4), (95)/(2)~3,35; 8,39; 10,06. Условию S<7 удовлетворяет единственное значение S=(35)/(2). *Примечание.* Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.

\(\dfrac{3\sqrt{5}}{2}\)