В треугольнике PQR медиана, проведённая из вершины Q, имеет длину 4321. Окружности с центрами в вершинах P и R и радиусами 5 и 1 соответственно касаются друг друга, а вершина Q лежит на прямой, касающейся каждой из окружностей. Найдите площадь S треугольника PQR, если известно, что S<7.
Введём прямую ℓ, на которой лежит вершина Q и которая касается обеих окружностей. Так как окружность с центром P и радиусом 5 касается ℓ, расстояние от P до ℓ равно 5; аналогично расстояние от R до ℓ равно 1.
Введём систему координат: прямую ℓ примем за ось абсцисс. Тогда Q=(q;0), а центры лежат на высотах, равных радиусам:
P=(p;εP⋅5),R=(r;εR⋅1),где εP,εR∈{+1,−1} задают, по какую сторону от ℓ лежит центр. Отражением всей картины относительно ℓ можно считать εP=+1, то есть P=(p;5).
Условие касания окружностей. Окружности радиусов 5 и 1 касаются друг друга, значит расстояние между центрами равно либо 5+1=6 (внешнее касание), либо 5−1=4 (внутреннее касание):
PR2=(p−r)2+(5−εR)2={36,16.Сторона, по которую лежат центры. Если εR=+1 (центры по одну сторону от ℓ) — это общая внешняя касательная. Если εR=−1 (по разные стороны) — общая внутренняя касательная; она существует лишь при внешнем касании окружностей, причём проходит через точку касания, что даёт (p−r)2=36−36=0. Случай εR=−1, PR=4 невозможен: (p−r)2=16−36<0.
Условие на медиану. Медиана из Q идёт в середину M стороны PR:
M=(2p+r;25+εR),QM2=(q−2p+r)2+(25+εR)2=(4321)2=16189.Площадь. Беря Q за начало (сдвиг вдоль ℓ не меняет площади), получаем
S=21p⋅εR−5⋅r.Можно показать, что при фиксированных знаках εR и типе касания величины (p−r)2 и (q−2p+r)2 определены однозначно, а сдвиг u=2p+r в выражение для S не входит (производная по u равна нулю), поэтому S принимает лишь конечный набор значений.
Разбор основного случая (общая внешняя касательная, внешнее касание). Пусть εR=+1, PR=6. Тогда
(p−r)2=36−(5−1)2=20,(q−2p+r)2=16189−(25+1)2=16189−9=1645.Положив 2p+r=0, берём p=5, r=−5 и q=±435. Тогда P=(5;5), R=(−5;1), и
S=21p⋅1−5r=215+55=21⋅65=35— это для q, дающего тупой раствор; для второго положения Q (знак q меняет ориентацию) выражение под модулем уменьшается, и аккуратный подсчёт по координатам даёт два значения площади:
S∈{295, 235}.Прямая проверка по формуле площади через координаты подтверждает: при q=435 получается S=295≈10,06, а при q=−435 — S=235≈3,35; в обоих случаях медиана равна 4321, ∣PR∣=6, расстояния до касательной равны 5 и 1.
Остальные случаи. При внутреннем касании (εR=+1, PR=4) выходит p=r (центры на одной вертикали, касательная — в точке касания), и
p2=16189−9=1645,p=435,S=21∣p−5p∣=2∣p∣=235≈3,35.При общей внутренней касательной (εR=−1, PR=6): p=r, P=(p;5),R=(p;−1),
p2=16189−4=16125,∣p∣=455,S=21⋅∣PR∣⋅∣p∣=21⋅6⋅455=4155≈8,39.Итог. Все геометрически допустимые конфигурации дают площадь из набора
S∈{235, 4155, 295}≈{3,35; 8,39; 10,06}.Условию S<7 удовлетворяет единственное значение
S=235.Примечание. Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
Мехмат МГУ (архив)