58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:T1093,**Область определения.** Все логарифмы определены, когда их аргументы положительны: \(3x>0\), \(9x^2>0\), \(81x>0\). Условие \(3x>0\) даёт \(x>0\); при этом остальные условия выполнены автоматически. Итак, область определения неравенства — \(x>0\). **Сведение к одной переменной.** Положим \(t=\log_3 x\). Выразим все четыре логарифма через \(t\): \[\log_3 3x=1+\log_3 x=1+t,\qquad 7-\log_3 3x=6-t,\] \[\log_9 9x^2=\frac{\log_3 9x^2}{2}=\frac{2+2t}{2}=1+t,\qquad 4-\log_9 9x^2=3-t,\] \[\log_9 81x=\frac{\log_3 81x}{2}=\frac{4+t}{2}.\] Подставляя, получаем \[\frac{1}{|6-t|}+\frac{1}{|3-t|}\leqslant\frac{1}{\left|\dfrac{t+4}{2}\right|}=\frac{2}{|t+4|}.\] **Точки, исключаемые из рассмотрения.** Знаменатели не должны обращаться в нуль, поэтому \(t\neq 6\), \(t\neq 3\), \(t\neq -4\) (то есть \(x\neq 729,\ x\neq 27,\ x\neq 3^{-4}\)). Из них в итоговый ответ попадёт только условие \(t\neq -4\), так как именно эта точка окажется внутри найденного множества решений. **Разбор по промежуткам.** Раскроем модули. Знаки выражений \(6-t,\ 3-t,\ t+4\) меняются в точках \(t=6,\ t=3,\ t=-4\). Запишем разность правой и левой частей \(\;\Delta(t)=\dfrac{2}{|t+4|}-\dfrac{1}{|6-t|}-\dfrac{1}{|3-t|}\;\) и потребуем \(\Delta(t)\geqslant 0\). | промежуток | знак \(\Delta(t)\) после приведения | вывод | |---|---|---| | \(t<-4\) | \(\dfrac{17t-72}{(t-6)(t-3)(t+4)}\) | \(\Delta>0\) — решение | | \(-46\) | \(\dfrac{-(17t-72)}{(t-6)(t-3)(t+4)}\) | \(\Delta<0\) — нет | Поясним ключевые промежутки. При \(t<-4\) числитель \(17t-72<17\cdot(-4)-72=-140<0\), а знаменатель \((t-6)(t-3)(t+4)\) есть произведение трёх отрицательных множителей, то есть отрицателен; значит дробь положительна, и неравенство выполнено для всех таких \(t\). При \(-40\)). В числителе \(4t-19<4\cdot 3-19=-7<0\) на всём этом промежутке, поэтому знак числителя \(t(4t-19)\) противоположен знаку \(t\): он неотрицателен ровно при \(t\leqslant 0\). Следовательно, на \((-4,3)\) неравенство выполняется при \(-46\) все три множителя знаменателя положительны и \(17t-72>0\), так что \(\Delta<0\) — решений нет. **Итог в переменной \(t\).** Неравенство выполнено при \(t\in(-\infty,-4)\cup(-4,0]\), то есть \[t\leqslant 0,\quad t\neq -4.\] **Возврат к \(x\).** Так как \(t=\log_3 x\) и функция \(x=3^{t}\) монотонно возрастает, условие \(t\leqslant 0\) равносильно \(00\), \(\sin\frac{x}{2}<0\), так что левая часть \(\ge0\) и правая \(-\sin\frac{x}{2}>0\) — знаки согласованы, равенство выполняется (проверено численно: обе части равны \(0{,}33571\)). Для \(x=+\arccos\dfrac{\sqrt{15}}{5}\) получаем \(\sin\frac{x}{2}>0\), то есть правая часть отрицательна, а левая неотрицательна — равенство невозможно; это посторонний корень, внесённый возведением в квадрат. Поэтому остаётся только \[x=-\arccos\frac{\sqrt{15}}{5}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.\] **Ответ.** \[\boxed{\,x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad x=-\arccos\frac{\sqrt{15}}{5}+2\pi k,\qquad n,k\in\mathbb{Z}.}\] *Примечание.* Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.5d:T13f7,Высота \(BH\) опущена из вершины \(B\) на сторону \(AC\), поэтому \(BH\perp AC\) и \(H\) — основание перпендикуляра на прямой \(AC\). Точка \(D\) лежит на отрезке \(BH\), значит отрезок \(DH\) также перпендикулярен \(AC\) (точки \(D\) и \(H\) имеют одну проекцию на \(AC\)). **Обозначения.** Пусть \(\gamma=\angle BCA\) — угол треугольника при вершине \(C\). Так как \(\angle B=50^\circ\), сумма двух других углов равна \(\angle BAC+\angle BCA=130^\circ\). Введём также углы, под которыми из \(A\) и из \(C\) видна точка \(D\): \[\alpha=\angle DAC,\qquad \beta=\angle DCA.\] **Шаг 1. Связь \(\alpha+\beta=50^\circ\).** В треугольнике \(ADC\) дан угол \(\angle ADC=130^\circ\), поэтому \[\alpha+\beta=\angle DAC+\angle DCA=180^\circ-\angle ADC=180^\circ-130^\circ=50^\circ.\] **Шаг 2. Нахождение \(\beta=\angle DCA\) из условия \(AD=\sqrt3\).** Применим теорему синусов к треугольнику \(ADC\): \[\frac{AD}{\sin\angle DCA}=\frac{AC}{\sin\angle ADC},\qquad\text{то есть}\qquad \sin\beta=\frac{AD\,\sin 130^\circ}{AC}=\frac{\sqrt3\,\sin 50^\circ}{AC}.\] (здесь использовано \(\sin130^\circ=\sin50^\circ\)). Длину \(AC\) выразим через данные треугольника \(ABC\) по теореме синусов: \[\frac{AC}{\sin\angle ABC}=\frac{BC}{\sin\angle BAC},\qquad AC=\frac{BC\,\sin 50^\circ}{\sin(130^\circ-\gamma)}=\frac{3\sin 50^\circ}{\sin(130^\circ-\gamma)},\] поскольку \(\angle BAC=130^\circ-\gamma\). Подставляя, \[\sin\beta=\frac{\sqrt3\,\sin 50^\circ}{\dfrac{3\sin 50^\circ}{\sin(130^\circ-\gamma)}}=\frac{\sqrt3}{3}\,\sin(130^\circ-\gamma)=\frac{\sin(130^\circ-\gamma)}{\sqrt3}.\tag{1}\] **Шаг 3. Связь углов через положение \(D\) на высоте.** Из прямоугольных треугольников \(DHC\) и \(DHA\) (прямой угол при \(H\)) с общим катетом \(DH\): \[DH=CH\,\tan\beta=AH\,\tan\alpha,\] где \(CH=BC\cos\gamma=3\cos\gamma\) (из прямоугольного треугольника \(BHC\)), а \(AH=AC-CH\). Кроме того из треугольника \(DHA\) имеем \(DH=AD\sin\alpha=\sqrt3\,\sin\alpha\). Из равенства \(CH\tan\beta=\sqrt3\sin\alpha\) с учётом \(\alpha=50^\circ-\beta\) получаем второе уравнение, связывающее \(\beta\) и \(\gamma\): \[3\cos\gamma\,\tan\beta=\sqrt3\,\sin(50^\circ-\beta).\tag{2}\] **Шаг 4. Решение системы (1)–(2).** Подставив \(\sin\beta\) из (1), система имеет единственное решение, удовлетворяющее условию \(00 \) при всех \( x \), переменная \( t \) пробегает все положительные значения, причём соответствие \( x\mapsto t=2^x \) — строго возрастающая биекция между \( \mathbb{R} \) и \( (0;+\infty) \). Значит, различным \( x \) отвечают различные \( t>0 \), и наоборот. Так как \( 2^{1+x}=2\cdot 2^x=2t \) и \( 2^{1-x}=\dfrac{2}{2^x}=\dfrac{2}{t} \), уравнение принимает вид \[2t+p+\frac{2q}{t}=0.\] Умножив на \( t>0 \) (это эквивалентное преобразование, так как \( t\neq 0 \)), получаем квадратное уравнение \[2t^2+pt+2q=0. \tag{1}\] В силу биекции \( x\leftrightarrow t \) условие «исходное уравнение имеет ровно два различных корня \( x \)» равносильно условию «уравнение \((1)\) имеет ровно два различных **положительных** корня \( t_1,t_2 \)». ## Шаг 2. Условия на два различных положительных корня и нахождение \(q\) По теореме Виета для \((1)\): \[t_1+t_2=-\frac{p}{2},\qquad t_1 t_2=\frac{2q}{2}=q.\] Чтобы оба корня были положительны и различны, необходимо и достаточно: \[\text{дискриминант } p^2-16q>0,\qquad t_1+t_2=-\frac{p}{2}>0,\qquad t_1 t_2=q>0.\] Корни исходного уравнения суть \( x_1=\log_2 t_1 \) и \( x_2=\log_2 t_2 \). Их сумма по условию равна 4: \[x_1+x_2=\log_2 t_1+\log_2 t_2=\log_2\bigl(t_1 t_2\bigr)=\log_2 q=4.\] Отсюда однозначно \[\boxed{q=2^4=16.}\] Дополнительно из неравенств \( q>0 \) (выполнено, \( q=16 \)), \( -\tfrac{p}{2}>0 \) и \( p^2-16q=p^2-256>0 \) получаем \( p<0 \) и \( |p|>16 \), то есть \( p<-16 \). Конкретное значение \( p \) условием не фиксируется (это целое семейство), но для дальнейшего важно лишь, что \( q=16 \) и \( p<-16 \). ## Шаг 3. Анализ второго уравнения Требуется найти произведение всех различных корней уравнения \[\left(x^2-5x-300\right)\left(x^2-px-q\right)=0,\qquad q=16.\] Произведение нулей произведения многочленов — это объединение корней двух множителей. **Первый множитель** \( x^2-5x-300=0 \). Дискриминант \( 25+1200=1225=35^2>0 \), корни \[x=\frac{5\pm 35}{2}=20\ \text{и}\ -15,\] они различны, их произведение по Виете равно \( -300 \). **Второй множитель** \( x^2-px-16=0 \). Его дискриминант \( p^2+64>0 \) при любом \( p \), поэтому всегда два различных действительных корня; их произведение по Виете равно \( -16 \). ## Шаг 4. Проверка, что все четыре корня различны «Произведение всех **различных** корней» совпадает с произведением всех четырёх корней лишь при отсутствии общих корней у множителей. Проверим, может ли корень первого множителя удовлетворять второму при допустимых \( p<-16 \). - Подстановка \( x=20 \) в \( x^2-px-16 \): \( 400-20p-16=0\Rightarrow p=\dfrac{384}{20}=19{,}2>0 \) — не лежит в области \( p<-16 \). - Подстановка \( x=-15 \): \( 225+15p-16=0\Rightarrow p=-\dfrac{209}{15}\approx -13{,}93 \) — тоже не меньше \( -16 \). Следовательно, ни при одном допустимом \( p<-16 \) множители общих корней не имеют, корни внутри каждого множителя различны, и всего ровно четыре различных корня. ## Шаг 5. Произведение всех различных корней Произведение всех четырёх различных корней равно произведению корней первого множителя на произведение корней второго: \[(-300)\cdot(-16)=4800.\] Это число не зависит от конкретного \( p \) (важно лишь \( q=16 \)). **Ответ:** \( 4800 \).5f:T220d,Обозначим центр сферы через \(O\), её радиус \(R=\dfrac{5}{3}\). Все пять вершин пирамиды лежат на сфере; известно, что боковые рёбра \(AS=BS=CS=2\) (про ребро \(DS\) ничего не сказано). **Шаг 1. Окружность, на которой лежат \(A\), \(B\), \(C\).** Точки \(A,B,C\) удалены от \(S\) на одно и то же расстояние \(2\), то есть лежат на сфере с центром \(S\) и радиусом \(2\). Пересечение этой сферы с исходной сферой есть окружность \(k\); найдём её. Поместим начало координат в центр \(O\) и направим ось \(Oz\) по радиусу \(OS\), так что \(S=(0,0,R)\). Для любой точки \(X\) сферы, удалённой от \(S\) на \(2\), имеем \[|X-S|^2=|X|^2-2\,(X\cdot S)+|S|^2=R^2-2\,(X\cdot S)+R^2=4,\] откуда \(X\cdot S=R^2-2\). Так как \(S=(0,0,R)\), это означает \(R\,z=R^2-2\), то есть \[z=\frac{R^2-2}{R}=\frac{2R^2-4}{2R}=\frac{7}{15}.\] Значит, все точки, удалённые от \(S\) на \(2\), лежат в одной горизонтальной плоскости \(\pi:\ z=\dfrac{7}{15}\); расстояние от центра \(O\) до этой плоскости равно \(d_0=\dfrac{7}{15}\). Окружность \(k=\pi\cap(\text{сфера})\) имеет радиус \[r=\sqrt{R^2-d_0^2}=\sqrt{\frac{25}{9}-\frac{49}{225}}=\sqrt{\frac{625-49}{225}}=\sqrt{\frac{576}{225}}=\frac{24}{15}=\frac{8}{5}.\] Итак, \(A,B,C\) лежат на окружности \(k\) радиуса \(r=\dfrac{8}{5}\), а плоскость \(\pi\) этой окружности горизонтальна (перпендикулярна \(OS\)). **Шаг 2. Основание \(ABCD\) лежит в плоскости \(\pi\).** Основание \(ABCD\) пирамиды — плоский четырёхугольник, и три его вершины \(A,B,C\) уже лежат в плоскости \(\pi\). Поэтому вся плоскость основания совпадает с \(\pi\), а четвёртая вершина \(D\), будучи и на основании, и на сфере, лежит на окружности \(k=\pi\cap(\text{сфера})\). Следовательно, \(ABCD\) — вписанный в окружность \(k\) (радиуса \(\tfrac{8}{5}\)) четырёхугольник, а вершина \(S\) проектируется в центр этой окружности. Высота пирамиды равна расстоянию от \(S\) до плоскости \(\pi\): \[h=R-d_0=\frac{5}{3}-\frac{7}{15}=\frac{25-7}{15}=\frac{18}{15}=\frac{6}{5}.\] **Шаг 3. Расположение \(A\), \(B\), \(C\) на окружности.** Хорда окружности радиуса \(r\), стягивающая центральный угол \(\varphi\), равна \(2r\sin\dfrac{\varphi}{2}\). По условию \(AB=BC=\dfrac{8}{5}=r\), поэтому \[2r\sin\frac{\varphi}{2}=r\ \Rightarrow\ \sin\frac{\varphi}{2}=\frac12\ \Rightarrow\ \varphi=60^\circ.\] Значит, дуги \(AB\) и \(BC\) равны по \(60^\circ\); точка \(B\) лежит между \(A\) и \(C\), и центральные углы соседних вершин различаются на \(60^\circ\). **Шаг 4. Условие касания переводится в \(AD\parallel BC\).** Плоскости \(ASD\) и \(BSC\) обе проходят через \(S\), поэтому их линия пересечения \(\ell\) проходит через \(S\). Линия, проходящая через точку \(S\) сферы, касается сферы тогда и только тогда, когда она лежит в касательной плоскости в точке \(S\), то есть перпендикулярна радиусу \(OS\). Так как \(OS\) вертикален, условие касания означает, что \(\ell\) горизонтальна (параллельна плоскости основания \(\pi\)). Плоскость \(BSC\) пересекает плоскость основания \(\pi\) по прямой \(BC\); плоскость \(ASD\) пересекает \(\pi\) по прямой \(AD\). Прямая \(\ell=(ASD)\cap(BSC)\) горизонтальна (то есть параллельна плоскости \(\pi\)) в точности тогда, когда обе прямые \(BC\) и \(AD\), по которым эти плоскости режут \(\pi\), параллельны между собой: тогда \(\ell\) параллельна им обеим и лежит в горизонтальном направлении. (Если бы \(AD\) и \(BC\) пересекались в некоторой точке \(P\in\pi\), то эта точка \(P\) принадлежала бы и плоскости \(ASD\), и плоскости \(BSC\), значит лежала бы на \(\ell\); тогда \(\ell=SP\) шла бы из \(S\) к точке плоскости \(\pi\) и не была бы горизонтальной, то есть не касалась бы сферы.) Итак, условие касания равносильно условию \[AD\parallel BC,\] то есть \(ABCD\) — трапеция с основаниями \(BC\) и \(AD\). **Шаг 5. Нахождение \(D\) и формы трапеции.** Расположим вершины на окружности \(k\) по центральным углам, отсчитываемым от центра: пусть \(B\) отвечает углу \(0^\circ\), тогда \(A\) — углу \(60^\circ\), а \(C\) — углу \(-60^\circ\) (дуги \(AB\) и \(BC\) равны \(60^\circ\)). Хорда \(BC\) при этом стягивает дугу с серединой в направлении угла \(-30^\circ\). Для трапеции с \(AD\parallel BC\), вписанной в окружность, необходимо, чтобы хорда \(AD\) была параллельна хорде \(BC\); параллельные хорды окружности высекают равные дуги между концами, поэтому середина дуги \(AD\) лежит на том же диаметре, что и середина дуги \(BC\). Отсюда вершина \(D\) отвечает центральному углу \(-120^\circ\). Тогда дуга \(CD\) равна \(60^\circ\), значит \(CD=\dfrac{8}{5}\), а дуга от \(A\,(60^\circ)\) до \(D\,(-120^\circ)\) равна \(180^\circ\), то есть \(AD\) — диаметр окружности \(k\): \[AD=2r=\frac{16}{5}.\] (Прямой подсчёт по координатам подтверждает: при \(A=\bigl(\tfrac45,\tfrac{4\sqrt3}{5}\bigr)\), \(B=\bigl(\tfrac85,0\bigr)\), \(C=\bigl(\tfrac45,-\tfrac{4\sqrt3}{5}\bigr)\), \(D=\bigl(-\tfrac45,-\tfrac{4\sqrt3}{5}\bigr)\) в плоскости \(z=\tfrac{7}{15}\) векторы \(\overrightarrow{AD}=2\,\overrightarrow{BC}\), то есть \(AD\parallel BC\), а линия пересечения плоскостей \(ASD\) и \(BSC\) горизонтальна и касается сферы.) Таким образом, \(ABCD\) — равнобокая трапеция с основаниями \(BC=\dfrac{8}{5}\) (меньшее) и \(AD=\dfrac{16}{5}\) (большее) и боковыми сторонами \(AB=CD=\dfrac{8}{5}\). **Шаг 6. Площадь основания и объём.** Высота трапеции \(h_t\) находится из боковой стороны и полуразности оснований. Полуразность оснований равна \[\frac{AD-BC}{2}=\frac{\tfrac{16}{5}-\tfrac{8}{5}}{2}=\frac{4}{5},\] поэтому \[h_t=\sqrt{AB^2-\left(\frac{AD-BC}{2}\right)^2}=\sqrt{\left(\frac{8}{5}\right)^2-\left(\frac{4}{5}\right)^2}=\sqrt{\frac{64-16}{25}}=\frac{\sqrt{48}}{5}=\frac{4\sqrt3}{5}.\] Площадь трапеции: \[S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot h_t=\frac{\tfrac{8}{5}+\tfrac{16}{5}}{2}\cdot\frac{4\sqrt3}{5}=\frac{12}{5}\cdot\frac{4\sqrt3}{5}=\frac{48\sqrt3}{25}.\] Объём пирамиды: \[V=\frac13\,S_{ABCD}\cdot h=\frac13\cdot\frac{48\sqrt3}{25}\cdot\frac{6}{5}=\frac{48\cdot 6\,\sqrt3}{3\cdot 125}=\frac{96\sqrt3}{125}.\] **Ответ:** \(V=\dfrac{96\sqrt3}{125}\).60:T1c99,Рассмотрим неравенство \[\log_x\frac{x-a}{1-ax}+\log_{x-1}\frac{x-a-1}{a+1-ax}\geqslant 0.\] **Приведение к единому виду.** Заметим, что аргумент второго логарифма получается из аргумента первого сдвигом переменной. Введём функцию \[f(u)=\log_u\frac{u-a}{1-au}.\] Тогда первое слагаемое есть в точности \(f(x)\). Преобразуем аргумент второго логарифма, подставив \(u=x-1\): \[\frac{(x-1)-a}{1-a(x-1)}=\frac{x-a-1}{1-ax+a}=\frac{x-a-1}{a+1-ax}.\] Это и есть аргумент второго логарифма, а его основание равно \(x-1\). Значит, второе слагаемое есть \(f(x-1)\), и неравенство равносильно \[f(x)+f(x-1)\geqslant 0.\] **Какие целые \(x\) вообще допустимы.** Логарифм \(\log_x(\cdot)\) требует основания \(x>0\), \(x\neq 1\); логарифм \(\log_{x-1}(\cdot)\) требует основания \(x-1>0\), \(x-1\neq 1\), то есть \(x>1\) и \(x\neq 2\). Для целого \(x\) это даёт \(x\geqslant 3\). Таким образом, целочисленными решениями могут быть только числа \(x=3,4,5,\dots\), и при каждом таком \(x\) оба основания \(x\) и \(x-1\) не меньше \(2\), то есть строго больше \(1\). **Знак каждого логарифма.** Для целого \(n\geqslant 2\) обозначим \[A_n=\frac{n-a}{1-an}.\] Так как основание \(n>1\), логарифм \(\log_n A_n\) определён при \(A_n>0\), а его знак совпадает со знаком разности \(A_n-1\). Выполним тождественное преобразование: \[A_n-1=\frac{n-a}{1-an}-1=\frac{(n-a)-(1-an)}{1-an}=\frac{(n-1)+a(n-1)}{1-an}=\frac{(n-1)(1+a)}{1-an}.\] **Область определения по аргументу.** Условие \(A_n>0\) для \(n\geqslant 2\) (тогда \(1-an>0\) при \(a<\tfrac1n\)) равносильно совокупности \(a<\dfrac1n\) или \(a>n\); ветвь \(a>n\) рассмотрим отдельно ниже. На основной (левой) ветви \(a<\dfrac1n\) знаменатель \(1-an>0\), поэтому знак разности \(A_n-1=\dfrac{(n-1)(1+a)}{1-an}\) совпадает со знаком множителя \(1+a\): \[A_n>1\ \text{при}\ a>-1,\qquad A_n=1\ \text{при}\ a=-1,\qquad A_n<1\ \text{при}\ a<-1.\] Соответственно \(\log_n A_n>0\), \(=0\) или \(<0\). **Когда выполнено само неравенство.** Пусть целое \(x\geqslant 3\) лежит в области определения, то есть на левой ветви \(A_x>0\) и \(A_{x-1}>0\) (это требует \(a<\dfrac1x\), так как \(\dfrac1x<\dfrac1{x-1}\)). Тогда: - при \(a>-1\) оба числа \(A_x>1\) и \(A_{x-1}>1\), значит оба логарифма положительны и \(f(x)+f(x-1)>0\) — неравенство выполнено; - при \(a=-1\) оба аргумента равны \(1\) (ведь \(A_n=\dfrac{n+1}{1+n}=1\)), оба логарифма равны нулю, сумма равна \(0\) — неравенство выполнено (как равенство); - при \(a<-1\) оба числа \(A_x<1\) и \(A_{x-1}<1\), оба логарифма отрицательны, сумма строго отрицательна — неравенство не выполнено. Итак, на левой ветви целое \(x\geqslant 3\) является решением тогда и только тогда, когда одновременно \[a\geqslant -1\quad\text{и}\quad a<\frac1x.\] То есть множество значений \(a\), при которых данное целое \(x\) есть решение, равно полуинтервалу \(\left[-1,\ \dfrac1x\right)\). **Правая ветвь \(a>x\) решений не даёт.** Если \(a>x\ (\geqslant 3)\), то и \(a>x-1\), так что для \(n=x\) и \(n=x-1\) знаменатель \(1-an<0\), а числитель \((n-1)(1+a)>0\); значит \(A_n-1<0\), оба аргумента меньше \(1\), оба логарифма отрицательны и сумма \(f(x)+f(x-1)<0\). Неравенство не выполнено, поэтому правая ветвь новых целых решений не добавляет. **Подсчёт числа целых решений.** Множество значений \(a\), при которых \(x\) служит решением, есть \(\left[-1,\dfrac1x\right)\); эти полуинтервалы вложены друг в друга и сужаются с ростом \(x\): \[\left[-1,\tfrac13\right)\supset\left[-1,\tfrac14\right)\supset\left[-1,\tfrac15\right)\supset\left[-1,\tfrac16\right)\supset\cdots\] Поэтому, чтобы целочисленных решений было не менее трёх, необходимо и достаточно, чтобы решениями являлись три наименьших допустимых значения \(x=3,4,5\) (если решением является \(x=5\), то тем более решениями являются \(x=3\) и \(x=4\), у которых интервалы шире). Решением \(x=5\) число \(a\) служит при \(a\in\left[-1,\dfrac15\right)\). На этом множестве автоматически решениями являются также \(x=3\) и \(x=4\), то есть целых решений не меньше трёх. Если же \(a\geqslant\dfrac15\), то \(x=5\) уже не является решением (нарушена область определения: при \(a=\dfrac15\) знаменатель \(1-5a=0\), а при \(\dfrac15=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]