Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
Мехмат МГУ (архив)
Решить неравенство
7−log33x1+4−log99x21⩽log981x1.Область определения. Все логарифмы определены, когда их аргументы положительны: 3x>0, 9x2>0, 81x>0. Условие 3x>0 даёт x>0; при этом остальные условия выполнены автоматически. Итак, область определения неравенства — x>0.
Сведение к одной переменной. Положим t=log3x. Выразим все четыре логарифма через t:
log33x=1+log3x=1+t,7−log33x=6−t, log99x2=2log39x2=22+2t=1+t,4−log99x2=3−t, log981x=2log381x=24+t.Подставляя, получаем
∣6−t∣1+∣3−t∣1⩽2t+41=∣t+4∣2.Точки, исключаемые из рассмотрения. Знаменатели не должны обращаться в нуль, поэтому t=6, t=3, t=−4 (то есть x=729, x=27, x=3−4). Из них в итоговый ответ попадёт только условие t=−4, так как именно эта точка окажется внутри найденного множества решений.
Разбор по промежуткам. Раскроем модули. Знаки выражений 6−t, 3−t, t+4 меняются в точках t=6, t=3, t=−4. Запишем разность правой и левой частей Δ(t)=∣t+4∣2−∣6−t∣1−∣3−t∣1 и потребуем Δ(t)⩾0.
| промежуток | знак Δ(t) после приведения | вывод |
|---|---|---|
| t<−4 | (t−6)(t−3)(t+4)17t−72 | Δ>0 — решение |
| −4<t⩽0 | (t−6)(t−3)(t+4)t(4t−19) | Δ⩾0 — решение |
| 0<t<3 | та же дробь | Δ<0 — нет |
| 3<t<6 | (t−6)(t−3)(t+4)2t2−15t+48 | Δ<0 — нет |
| t>6 | (t−6)(t−3)(t+4)−(17t−72) | Δ<0 — нет |
Поясним ключевые промежутки.
При t<−4 числитель 17t−72<17⋅(−4)−72=−140<0, а знаменатель (t−6)(t−3)(t+4) есть произведение трёх отрицательных множителей, то есть отрицателен; значит дробь положительна, и неравенство выполнено для всех таких t.
При −4<t<3 знаменатель (t−6)(t−3)(t+4) положителен ((t−6)<0, (t−3)<0, (t+4)>0). В числителе 4t−19<4⋅3−19=−7<0 на всём этом промежутке, поэтому знак числителя t(4t−19) противоположен знаку t: он неотрицателен ровно при t⩽0. Следовательно, на (−4,3) неравенство выполняется при −4<t⩽0 (в точке t=0 — равенство).
При 3<t<6 квадратный трёхчлен 2t2−15t+48 имеет отрицательный дискриминант 225−384=−159<0, значит он всюду положителен; знаменатель же отрицателен, поэтому Δ<0 — решений нет. При t>6 все три множителя знаменателя положительны и 17t−72>0, так что Δ<0 — решений нет.
Итог в переменной t. Неравенство выполнено при t∈(−∞,−4)∪(−4,0], то есть
t⩽0,t=−4.Возврат к x. Так как t=log3x и функция x=3t монотонно возрастает, условие t⩽0 равносильно 0<x⩽1, а t=−4 отвечает x=3−4=811. Поэтому
0<x⩽1,x=3−4.