Решить неравенство (1)/(|7-_3 3x|)+(1)/(|4-_9 9x^2|)(1)/(|_9 81x|).

**Область определения.** Все логарифмы определены, когда их аргументы положительны: 3x>0, 9x^2>0, 81x>0. Условие 3x>0 даёт x>0; при этом остальные условия выполнены автоматически. Итак, область определения неравенства — x>0. **Сведение к одной переменной.** Положим t=_3 x. Выразим все четыре логарифма через t: _3 3x=1+_3 x=1+t, 7-_3 3x=6-t, _9 9x^2=(_3 9x^2)/(2)=(2+2t)/(2)=1+t, 4-_9 9x^2=3-t, _9 81x=(_3 81x)/(2)=(4+t)/(2). Подставляя, получаем (1)/(|6-t|)+(1)/(|3-t|)(1)/(|(t+4)/(2)|)=(2)/(|t+4|). **Точки, исключаемые из рассмотрения.** Знаменатели не должны обращаться в нуль, поэтому t!= 6, t!= 3, t!= -4 (то есть x!= 729, x!= 27, x!= 3^(-4)). Из них в итоговый ответ попадёт только условие t!= -4, так как именно эта точка окажется внутри найденного множества решений. **Разбор по промежуткам.** Раскроем модули. Знаки выражений 6-t, 3-t, t+4 меняются в точках t=6, t=3, t=-4. Запишем разность правой и левой частей (t)=(2)/(|t+4|)-(1)/(|6-t|)-(1)/(|3-t|)и потребуем (t) 0. | промежуток | знак (t) после приведения | вывод | |---|---|---| | t<-4 | (17t-72)/((t-6)(t-3)(t+4)) | >0 — решение | | -4<t 0 | (t(4t-19))/((t-6)(t-3)(t+4)) | 0 — решение | | 0<t<3 | та же дробь | <0 — нет | | 3<t<6 | (2t^2-15t+48)/((t-6)(t-3)(t+4)) | <0 — нет | | t>6 | (-(17t-72))/((t-6)(t-3)(t+4)) | <0 — нет | Поясним ключевые промежутки. При t<-4 числитель 17t-72<17*(-4)-72=-140<0, а знаменатель (t-6)(t-3)(t+4) есть произведение трёх отрицательных множителей, то есть отрицателен; значит дробь положительна, и неравенство выполнено для всех таких t. При -4<t<3 знаменатель (t-6)(t-3)(t+4) положителен ((t-6)<0, (t-3)<0, (t+4)>0). В числителе 4t-19<4* 3-19=-7<0 на всём этом промежутке, поэтому знак числителя t(4t-19) противоположен знаку t: он неотрицателен ровно при t 0. Следовательно, на (-4,3) неравенство выполняется при -4<t 0 (в точке t=0 — равенство). При 3<t<6 квадратный трёхчлен 2t^2-15t+48 имеет отрицательный дискриминант 225-384=-159<0, значит он всюду положителен; знаменатель же отрицателен, поэтому <0 — решений нет. При t>6 все три множителя знаменателя положительны и 17t-72>0, так что <0 — решений нет. **Итог в переменной t.** Неравенство выполнено при tin(-inf,-4)U(-4,0], то есть t 0, t!= -4. **Возврат к x.** Так как t=_3 x и функция x=3^(t) монотонно возрастает, условие t 0 равносильно 0<x 1, а t=-4 отвечает x=3^(-4)=(1)/(81). Поэтому 0<x 1, x!= 3^(-4).

\(0 < x \leqslant 1;\ x \neq 3^{-4}\)