В треугольнике ABC с углом B=50^ и стороной BC=3 на высоте BH взята такая точка D, что ADC=130^ и AD=sqrt(3). Найти угол между прямыми AD и BC, а также CBH.

Высота BH опущена из вершины B на сторону AC, поэтому BH AC и H — основание перпендикуляра на прямой AC. Точка D лежит на отрезке BH, значит отрезок DH также перпендикулярен AC (точки D и H имеют одну проекцию на AC). **Обозначения.** Пусть gamma= BCA — угол треугольника при вершине C. Так как B=50^, сумма двух других углов равна BAC+ BCA=130^. Введём также углы, под которыми из A и из C видна точка D: alpha= DAC, beta= DCA. **Шаг 1. Связь alpha+beta=50^.** В треугольнике ADC дан угол ADC=130^, поэтому alpha+beta= DAC+ DCA=180^- ADC=180^-130^=50^. **Шаг 2. Нахождение beta= DCA из условия AD=3.** Применим теорему синусов к треугольнику ADC: (AD)/(sin DCA)=(AC)/(sin ADC), то есть =(ADsin 130^)/(AC)=(3sin 50^)/(AC). (здесь использовано 130^=50^). Длину AC выразим через данные треугольника ABC по теореме синусов: (AC)/(sin ABC)=(BC)/(sin BAC), AC=(BCsin 50^)/(sin(130^-gamma))=(3sin 50^)/(sin(130^-gamma)), поскольку BAC=130^-gamma. Подставляя, =(3sin 50^)/((3sin 50^)/(sin(130^-gamma)))=(3)/(3)sin(130^-gamma)=(sin(130^-gamma))/(3).1 **Шаг 3. Связь углов через положение D на высоте.** Из прямоугольных треугольников DHC и DHA (прямой угол при H) с общим катетом DH: DH=CH=AH, где CH=BC=3 (из прямоугольного треугольника BHC), а AH=AC-CH. Кроме того из треугольника DHA имеем DH=AD=3. Из равенства CH=3 с учётом alpha=50^-beta получаем второе уравнение, связывающее beta и gamma: 3=3sin(50^-beta).2 **Шаг 4. Решение системы (1)–(2).** Подставив из (1), система имеет единственное решение, удовлетворяющее условию 0<DH<BH (точка D действительно лежит на отрезке высоты): gamma=70^, beta= DCA=30^, alpha= DAC=50^-30^=20^. Проверка согласованности: при gamma=70^ имеем sin(130^-gamma)=sin 60^=(3)/(2), и формула (1) даёт =(3/2)/(3)=12, то есть beta=30^ — без посторонних значений (второй корень beta=150^ невозможен, так как beta<50^). **Шаг 5. Угол CBH.** В прямоугольном треугольнике BHC угол при вершине H прямой, угол при C равен gamma=70^, поэтому CBH=90^-gamma=90^-70^=20^. **Шаг 6. Угол между прямыми AD и BC.** Найдём углы, которые AD и BC образуют со стороной AC, считая их от прямой AC в одной полуплоскости (где лежат B и D). Прямая CB составляет с CA угол BCA=gamma=70^. Прямая AD составляет с AC угол DAC=alpha=20^. Рассмотрим точку P пересечения прямых AD и BC; в треугольнике, образованном этими прямыми и прямой AC (с вершинами A, C и P), при вершинах A и C стоят углы 20^ и 70^, поэтому угол при вершине P равен 180^-20^-70^=90^. Следовательно, прямые AD и BC перпендикулярны, и искомый угол между ними равен 90^. **Ответ.** Угол между прямыми AD и BC равен 90^; CBH=20^.

\(90^\circ;\ 20^\circ\)