Решить уравнение cos(x)/(2)sqrt(5cos(2x-pi)+8sin(x+(pi)/(2))-5)+sin(x)/(2)sqrt(2cos x)=0.

Решаем уравнение cos(x)/(2)sqrt(5cos(2x-pi)+8sin(x+(pi)/(2))-5)+sin(x)/(2)sqrt(2cos x)=0. **Упрощение подкоренного выражения первого радикала.** Применим формулы приведения. Поскольку cos(2x-pi)=-cos 2x и sin(x+(pi)/(2))=cos x, получаем 5cos(2x-pi)+8sin(x+(pi)/(2))-5=-5cos 2x+8cos x-5. Воспользуемся формулой cos 2x=2cos^2 x-1: -5(2cos^2 x-1)+8cos x-5=-10cos^2 x+8cos x=2cos x(4-5cos x). Итак, уравнение принимает вид cos(x)/(2)sqrt(2cos x(4-5cos x))+sin(x)/(2)sqrt(2cos x)=0. **Область допустимых значений (ОДЗ).** Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательны: 2cos x>= 0 и 2cos x(4-5cos x)>= 0. Из первого условия cos x>= 0. Тогда множитель 2cos x>= 0, и второе условие сводится к 4-5cos x>= 0, то есть cos x<=(4)/(5). Окончательно ОДЗ: 0<=cos x<=(4)/(5). **Разложение на множители.** На ОДЗ вынесем общий множитель sqrt(2cos x)>= 0 (это законно, так как sqrt(2cos x(4-5cos x))=sqrt(2cos x)*sqrt(4-5cos x) при неотрицательных множителях): sqrt(2cos x)(cos(x)/(2)sqrt(4-5cos x)+sin(x)/(2))=0. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. **Случай A: sqrt(2cos x)=0, то есть cos x=0.** Тогда x=(pi)/(2)+pi n, ninZ. Эти значения принадлежат ОДЗ (cos x=0in[0,45]); при cos x=0 оба подкоренных выражения равны нулю, поэтому левая часть исходного уравнения тождественно равна нулю. Серия подходит полностью. **Случай B:** cos(x)/(2)sqrt(4-5cos x)+sin(x)/(2)=0, 0<cos x<=45. Перенесём слагаемое: cos(x)/(2)sqrt(4-5cos x)=-sin(x)/(2). Поскольку левая часть и квадратный корень определены, возведём в квадрат (запомнив, что это может дать посторонние корни, которые отсеем подстановкой/анализом знака): cos^2(x)/(2)(4-5cos x)=sin^2(x)/(2). Перейдём к половинному углу: cos x=2cos^2(x)/(2)-1, поэтому 4-5cos x=9-10cos^2(x)/(2). Обозначим c=cos(x)/(2) и используем sin^2(x)/(2)=1-c^2: c^2(9-10c^2)=1-c^2-10c^4+10c^2-1=010c^4-10c^2+1=0. Решая относительно c^2: c^2=(10+-sqrt(100-40))/(20)=(1)/(2)+-(sqrt(15))/(10). Вернёмся к cos x=2c^2-1: cos x=2((1)/(2)+-(sqrt(15))/(10))-1=+-(sqrt(15))/(5). Корень cos x=-(sqrt(15))/(5)<0 не входит в ОДЗ и отбрасывается. Остаётся cos x=(sqrt(15))/(5)~ 0,7746, что удовлетворяет ОДЗ, так как (sqrt(15))/(5)<45. **Отбор знака (отсев посторонних корней).** Равенство cos x=(sqrt(15))/(5) даёт x=+-arccos(sqrt(15))/(5)+2pi k. Подставим обе серии в равенство случая B cos(x)/(2)sqrt(4-5cos x)=-sin(x)/(2). При cos x=(sqrt(15))/(5) имеем 4-5cos x=4-sqrt(15), и sqrt(4-5cos x)=sqrt(4-15). Для x=-arccos(sqrt(15))/(5) угол (x)/(2) лежит в четвёртой четверти: cos(x)/(2)>0, sin(x)/(2)<0, так что левая часть 0 и правая -sin(x)/(2)>0 — знаки согласованы, равенство выполняется (проверено численно: обе части равны 0,33571). Для x=+arccos(sqrt(15))/(5) получаем sin(x)/(2)>0, то есть правая часть отрицательна, а левая неотрицательна — равенство невозможно; это посторонний корень, внесённый возведением в квадрат. Поэтому остаётся только x=-arccos(sqrt(15))/(5)+2pi k, kinZ. **Ответ.** x=(pi)/(2)+pi n, x=-arccos(sqrt(15))/(5)+2pi k, n,kinZ. *Примечание.* Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.

\(x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n,\quad x=-\arccos\dfrac{\sqrt{15}}{5}+2\pi k,\quad n,k\in\mathbb{Z}\)