Задача №18234

Решить уравнение

$$\cos \frac{x}{2}\sqrt{5\cos (2x-\pi )+8\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)-5}+\sin \frac{x}{2}\sqrt{2\cos x}=0.$$

Решаем уравнение

$$\cos \frac{x}{2}\sqrt{5\cos (2x-\pi )+8\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)-5}+\sin \frac{x}{2}\sqrt{2\cos x}=0.$$

Упрощение подкоренного выражения первого радикала. Применим формулы приведения. Поскольку $\cos (2x-\pi )=-\cos 2x$ и $\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=\cos x\text{,}$ получаем

$$5\cos (2x-\pi )+8\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)-5=-5\cos 2x+8\cos x-5.$$

Воспользуемся формулой $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1\text{:}$

$$-5(2{\cos }^{2}x-1)+8\cos x-5=-10{\cos }^{2}x+8\cos x=2\cos x(4-5\cos x).$$

Итак, уравнение принимает вид

$$\cos \frac{x}{2}\sqrt{2\cos x(4-5\cos x)}+\sin \frac{x}{2}\sqrt{2\cos x}=0.$$

Область допустимых значений (ОДЗ). Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательны:

$$2\cos x\ge 0\text{и}2\cos x(4-5\cos x)\ge 0.$$

Из первого условия $\cos x\ge 0\text{.}$ Тогда множитель $2\cos x\ge 0\text{,}$ и второе условие сводится к $4-5\cos x\ge 0\text{,}$ то есть $\cos x\le \frac{4}{5}\text{.}$ Окончательно ОДЗ:

$$0\le \cos x\le \frac{4}{5}.$$

Разложение на множители. На ОДЗ вынесем общий множитель $\sqrt{2\cos x}\ge 0$ (это законно, так как $\sqrt{2\cos x(4-5\cos x)}=\sqrt{2\cos x}\cdot \sqrt{4-5\cos x}$ при неотрицательных множителях):

$$\sqrt{2\cos x}\left(\cos \frac{x}{2}\sqrt{4-5\cos x}+\sin \frac{x}{2}\right)=0.$$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

Случай A: $\sqrt{2\cos x}=0\text{,}$ то есть $\cos x=0\text{.}$ Тогда $x=\frac{\pi }{2}+\pi n,n\in \mathbb{Z}\text{.}$ Эти значения принадлежат ОДЗ ($\cos x=0\in [0,\frac{4}{5}]$); при $\cos x=0$ оба подкоренных выражения равны нулю, поэтому левая часть исходного уравнения тождественно равна нулю. Серия подходит полностью.

Случай B:

$$\cos \frac{x}{2}\sqrt{4-5\cos x}+\sin \frac{x}{2}=0,0<\cos x\le \frac{4}{5}.$$

Перенесём слагаемое:

$$\cos \frac{x}{2}\sqrt{4-5\cos x}=-\sin \frac{x}{2}.$$

Поскольку левая часть и квадратный корень определены, возведём в квадрат (запомнив, что это может дать посторонние корни, которые отсеем подстановкой/анализом знака):

$${\cos }^2\frac{x}{2}(4-5\cos x)={\sin }^2\frac{x}{2}.$$

Перейдём к половинному углу: $\cos x=2{\cos }^2\frac{x}{2}-1\text{,}$ поэтому $4-5\cos x=9-10{\cos }^2\frac{x}{2}\text{.}$ Обозначим $c=\cos \frac{x}{2}$ и используем ${\sin }^2\frac{x}{2}=1-c^2\text{:}$

$$c^2(9-10c^2)=1-c^2⟹-10c^4+10c^2-1=0⟹10c^4-10c^2+1=0.$$

Решая относительно $c^2\text{:}$

$$c^2=\frac{10\pm \sqrt{100-40}}{20}=\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{15}}{10}.$$

Вернёмся к $\cos x=2c^2-1\text{:}$

$$\cos x=2\left(\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{15}}{10}\right)-1=\pm \frac{\sqrt{15}}{5}.$$

Корень $\cos x=-\frac{\sqrt{15}}{5}<0$ не входит в ОДЗ и отбрасывается. Остаётся

$$\cos x=\frac{\sqrt{15}}{5}\approx 0,7746,$$

что удовлетворяет ОДЗ, так как $\frac{\sqrt{15}}{5}<\frac{4}{5}\text{.}$

Отбор знака (отсев посторонних корней). Равенство $\cos x=\frac{\sqrt{15}}{5}$ даёт $x=\pm \arccos \frac{\sqrt{15}}{5}+2\pi k\text{.}$ Подставим обе серии в равенство случая B $\cos \frac{x}{2}\sqrt{4-5\cos x}=-\sin \frac{x}{2}\text{.}$ При $\cos x=\frac{\sqrt{15}}{5}$ имеем $4-5\cos x=4-\sqrt{15}\text{,}$ и $\sqrt{4-5\cos x}=\sqrt{4-\sqrt{15}}\text{.}$ Для $x=-\arccos \frac{\sqrt{15}}{5}$ угол $\frac{x}{2}$ лежит в четвёртой четверти: $\cos \frac{x}{2}>0\text{,}$ $\sin \frac{x}{2}<0\text{,}$ так что левая часть $\ge 0$ и правая $-\sin \frac{x}{2}>0$ — знаки согласованы, равенство выполняется (проверено численно: обе части равны $0,33571$). Для $x=+\arccos \frac{\sqrt{15}}{5}$ получаем $\sin \frac{x}{2}>0\text{,}$ то есть правая часть отрицательна, а левая неотрицательна — равенство невозможно; это посторонний корень, внесённый возведением в квадрат. Поэтому остаётся только

$$x=-\arccos \frac{\sqrt{15}}{5}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

Ответ.

$$\boxed{x=\frac{\pi }{2}+\pi n,x=-\arccos \frac{\sqrt{15}}{5}+2\pi k,n,k\in \mathbb{Z}.}$$

Примечание. Ответ в печатном сборнике содержал неточность; приведённый ответ получен независимым решением и проверен.