Пирамида SABCD с боковыми рёбрами AS=BS=CS=2 вписана в сферу радиуса (5)/(3). Линия пересечения плоскостей ASD и BSC касается сферы. Найти объём пирамиды, если AB=BC=(8)/(5).

Обозначим центр сферы через O, её радиус R=(5)/(3). Все пять вершин пирамиды лежат на сфере; известно, что боковые рёбра AS=BS=CS=2 (про ребро DS ничего не сказано). **Шаг 1. Окружность, на которой лежат A, B, C.** Точки A,B,C удалены от S на одно и то же расстояние 2, то есть лежат на сфере с центром S и радиусом 2. Пересечение этой сферы с исходной сферой есть окружность k; найдём её. Поместим начало координат в центр O и направим ось Oz по радиусу OS, так что S=(0,0,R). Для любой точки X сферы, удалённой от S на 2, имеем |X-S|^2=|X|^2-2(X* S)+|S|^2=R^2-2(X* S)+R^2=4, откуда X* S=R^2-2. Так как S=(0,0,R), это означает Rz=R^2-2, то есть z=(R^2-2)/(R)=(2R^2-4)/(2R)=(7)/(15). Значит, все точки, удалённые от S на 2, лежат в одной горизонтальной плоскости pi: z=(7)/(15); расстояние от центра O до этой плоскости равно d_0=(7)/(15). Окружность k=pin(сфера) имеет радиус r=sqrt(R^2-d_0^2)=sqrt((25)/(9)-(49)/(225))=sqrt((625-49)/(225))=sqrt((576)/(225))=(24)/(15)=(8)/(5). Итак, A,B,C лежат на окружности k радиуса r=(8)/(5), а плоскость pi этой окружности горизонтальна (перпендикулярна OS). **Шаг 2. Основание ABCD лежит в плоскости pi.** Основание ABCD пирамиды — плоский четырёхугольник, и три его вершины A,B,C уже лежат в плоскости pi. Поэтому вся плоскость основания совпадает с pi, а четвёртая вершина D, будучи и на основании, и на сфере, лежит на окружности k=pin(сфера). Следовательно, ABCD — вписанный в окружность k (радиуса (8)/(5)) четырёхугольник, а вершина S проектируется в центр этой окружности. Высота пирамиды равна расстоянию от S до плоскости pi: h=R-d_0=(5)/(3)-(7)/(15)=(25-7)/(15)=(18)/(15)=(6)/(5). **Шаг 3. Расположение A, B, C на окружности.** Хорда окружности радиуса r, стягивающая центральный угол , равна 2rsin()/(2). По условию AB=BC=(8)/(5)=r, поэтому 2rsin()/(2)=r => sin()/(2)=12 => =60^. Значит, дуги AB и BC равны по 60^; точка B лежит между A и C, и центральные углы соседних вершин различаются на 60^. **Шаг 4. Условие касания переводится в AD BC.** Плоскости ASD и BSC обе проходят через S, поэтому их линия пересечения проходит через S. Линия, проходящая через точку S сферы, касается сферы тогда и только тогда, когда она лежит в касательной плоскости в точке S, то есть перпендикулярна радиусу OS. Так как OS вертикален, условие касания означает, что горизонтальна (параллельна плоскости основания pi). Плоскость BSC пересекает плоскость основания pi по прямой BC; плоскость ASD пересекает pi по прямой AD. Прямая =(ASD)n(BSC) горизонтальна (то есть параллельна плоскости pi) в точности тогда, когда обе прямые BC и AD, по которым эти плоскости режут pi, параллельны между собой: тогда параллельна им обеим и лежит в горизонтальном направлении. (Если бы AD и BC пересекались в некоторой точке P, то эта точка P принадлежала бы и плоскости ASD, и плоскости BSC, значит лежала бы на ; тогда =SP шла бы из S к точке плоскости pi и не была бы горизонтальной, то есть не касалась бы сферы.) Итак, условие касания равносильно условию AD BC, то есть ABCD — трапеция с основаниями BC и AD. **Шаг 5. Нахождение D и формы трапеции.** Расположим вершины на окружности k по центральным углам, отсчитываемым от центра: пусть B отвечает углу 0^, тогда A — углу 60^, а C — углу -60^ (дуги AB и BC равны 60^). Хорда BC при этом стягивает дугу с серединой в направлении угла -30^. Для трапеции с AD BC, вписанной в окружность, необходимо, чтобы хорда AD была параллельна хорде BC; параллельные хорды окружности высекают равные дуги между концами, поэтому середина дуги AD лежит на том же диаметре, что и середина дуги BC. Отсюда вершина D отвечает центральному углу -120^. Тогда дуга CD равна 60^, значит CD=(8)/(5), а дуга от A(60^) до D(-120^) равна 180^, то есть AD — диаметр окружности k: AD=2r=(16)/(5). (Прямой подсчёт по координатам подтверждает: при A=(45,(43)/(5)), B=(85,0), C=(45,-(43)/(5)), D=(-45,-(43)/(5)) в плоскости z=(7)/(15) векторы AD=2BC, то есть AD BC, а линия пересечения плоскостей ASD и BSC горизонтальна и касается сферы.) Таким образом, ABCD — равнобокая трапеция с основаниями BC=(8)/(5) (меньшее) и AD=(16)/(5) (большее) и боковыми сторонами AB=CD=(8)/(5). **Шаг 6. Площадь основания и объём.** Высота трапеции h_t находится из боковой стороны и полуразности оснований. Полуразность оснований равна (AD-BC)/(2)=((16)/(5)-(8)/(5))/(2)=(4)/(5), поэтому h_t=sqrt(AB^2-((AD-BC)/(2))^2)=sqrt(((8)/(5))^2-((4)/(5))^2)=sqrt((64-16)/(25))=(sqrt(48))/(5)=(43)/(5). Площадь трапеции: S_(ABCD)=(BC+AD)/(2)* h_t=((8)/(5)+(16)/(5))/(2)*(43)/(5)=(12)/(5)*(43)/(5)=(483)/(25). Объём пирамиды: V=13S_(ABCD)* h=13*(483)/(25)*(6)/(5)=(48* 63)/(3* 125)=(963)/(125). **Ответ:** V=(963)/(125).

\(\frac{96\sqrt{3}}{125}\)