Задача №18237

Пирамида $SABCD$ с боковыми рёбрами $AS=BS=CS=2$ вписана в сферу радиуса $\frac{5}{3}\text{.}$ Линия пересечения плоскостей $ASD$ и $BSC$ касается сферы. Найти объём пирамиды, если $AB=BC=\frac{8}{5}\text{.}$

Обозначим центр сферы через $O\text{,}$ её радиус $R=\frac{5}{3}\text{.}$ Все пять вершин пирамиды лежат на сфере; известно, что боковые рёбра $AS=BS=CS=2$ (про ребро $DS$ ничего не сказано).

Шаг 1. Окружность, на которой лежат $A\text{,}$ $B\text{,}$ $C\text{.}$

Точки $A,B,C$ удалены от $S$ на одно и то же расстояние $2\text{,}$ то есть лежат на сфере с центром $S$ и радиусом $2\text{.}$ Пересечение этой сферы с исходной сферой есть окружность $k\text{;}$ найдём её. Поместим начало координат в центр $O$ и направим ось $Oz$ по радиусу $OS\text{,}$ так что $S=(0,0,R)\text{.}$ Для любой точки $X$ сферы, удалённой от $S$ на $2\text{,}$ имеем

откуда $X\cdot S=R^2-2\text{.}$ Так как $S=(0,0,R)\text{,}$ это означает $Rz=R^2-2\text{,}$ то есть

Значит, все точки, удалённые от $S$ на $2\text{,}$ лежат в одной горизонтальной плоскости $\pi :z=\frac{7}{15}\text{;}$ расстояние от центра $O$ до этой плоскости равно $d_0=\frac{7}{15}\text{.}$ Окружность $k=\pi \cap (\text{сфера})$ имеет радиус

Итак, $A,B,C$ лежат на окружности $k$ радиуса $r=\frac{8}{5}\text{,}$ а плоскость $\pi$ этой окружности горизонтальна (перпендикулярна $OS$).

Шаг 2. Основание $ABCD$ лежит в плоскости $\pi \text{.}$

Основание $ABCD$ пирамиды — плоский четырёхугольник, и три его вершины $A,B,C$ уже лежат в плоскости $\pi \text{.}$ Поэтому вся плоскость основания совпадает с $\pi \text{,}$ а четвёртая вершина $D\text{,}$ будучи и на основании, и на сфере, лежит на окружности $k=\pi \cap (\text{сфера})\text{.}$ Следовательно, $ABCD$ — вписанный в окружность $k$ (радиуса $\frac{8}{5}$) четырёхугольник, а вершина $S$ проектируется в центр этой окружности. Высота пирамиды равна расстоянию от $S$ до плоскости $\pi \text{:}$

Шаг 3. Расположение $A\text{,}$ $B\text{,}$ $C$ на окружности.

Хорда окружности радиуса $r\text{,}$ стягивающая центральный угол $\phi \text{,}$ равна $2r\sin \frac{\phi }{2}\text{.}$ По условию $AB=BC=\frac{8}{5}=r\text{,}$ поэтому

Значит, дуги $AB$ и $BC$ равны по $60^{\circ }\text{;}$ точка $B$ лежит между $A$ и $C\text{,}$ и центральные углы соседних вершин различаются на $60^{\circ }\text{.}$

Шаг 4. Условие касания переводится в $AD\parallel BC\text{.}$

Плоскости $ASD$ и $BSC$ обе проходят через $S\text{,}$ поэтому их линия пересечения $\ell$ проходит через $S\text{.}$ Линия, проходящая через точку $S$ сферы, касается сферы тогда и только тогда, когда она лежит в касательной плоскости в точке $S\text{,}$ то есть перпендикулярна радиусу $OS\text{.}$ Так как $OS$ вертикален, условие касания означает, что $\ell$ горизонтальна (параллельна плоскости основания $\pi$).

Плоскость $BSC$ пересекает плоскость основания $\pi$ по прямой $BC\text{;}$ плоскость $ASD$ пересекает $\pi$ по прямой $AD\text{.}$ Прямая $\ell =(ASD)\cap (BSC)$ горизонтальна (то есть параллельна плоскости $\pi$) в точности тогда, когда обе прямые $BC$ и $AD\text{,}$ по которым эти плоскости режут $\pi \text{,}$ параллельны между собой: тогда $\ell$ параллельна им обеим и лежит в горизонтальном направлении. (Если бы $AD$ и $BC$ пересекались в некоторой точке $P\in \pi \text{,}$ то эта точка $P$ принадлежала бы и плоскости $ASD\text{,}$ и плоскости $BSC\text{,}$ значит лежала бы на $\ell \text{;}$ тогда $\ell =SP$ шла бы из $S$ к точке плоскости $\pi$ и не была бы горизонтальной, то есть не касалась бы сферы.) Итак, условие касания равносильно условию

то есть $ABCD$ — трапеция с основаниями $BC$ и $AD\text{.}$

Шаг 5. Нахождение $D$ и формы трапеции.

Расположим вершины на окружности $k$ по центральным углам, отсчитываемым от центра: пусть $B$ отвечает углу $0^{\circ }\text{,}$ тогда $A$ — углу $60^{\circ }\text{,}$ а $C$ — углу $-60^{\circ }$ (дуги $AB$ и $BC$ равны $60^{\circ }$). Хорда $BC$ при этом стягивает дугу с серединой в направлении угла $-30^{\circ }\text{.}$ Для трапеции с $AD\parallel BC\text{,}$ вписанной в окружность, необходимо, чтобы хорда $AD$ была параллельна хорде $BC\text{;}$ параллельные хорды окружности высекают равные дуги между концами, поэтому середина дуги $AD$ лежит на том же диаметре, что и середина дуги $BC\text{.}$ Отсюда вершина $D$ отвечает центральному углу $-120^{\circ }\text{.}$ Тогда дуга $CD$ равна $60^{\circ }\text{,}$ значит $CD=\frac{8}{5}\text{,}$ а дуга от $A(60^{\circ })$ до $D(-120^{\circ })$ равна $180^{\circ }\text{,}$ то есть $AD$ — диаметр окружности $k\text{:}$

(Прямой подсчёт по координатам подтверждает: при $A=(\frac{4}{5},\frac{4\sqrt{3}}{5})\text{,}$ $B=(\frac{8}{5},0)\text{,}$ $C=(\frac{4}{5},-\frac{4\sqrt{3}}{5})\text{,}$ $D=(-\frac{4}{5},-\frac{4\sqrt{3}}{5})$ в плоскости $z=\frac{7}{15}$ векторы $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{BC}\text{,}$ то есть $AD\parallel BC\text{,}$ а линия пересечения плоскостей $ASD$ и $BSC$ горизонтальна и касается сферы.)

Таким образом, $ABCD$ — равнобокая трапеция с основаниями $BC=\frac{8}{5}$ (меньшее) и $AD=\frac{16}{5}$ (большее) и боковыми сторонами $AB=CD=\frac{8}{5}\text{.}$

Шаг 6. Площадь основания и объём.

Высота трапеции $h_t$ находится из боковой стороны и полуразности оснований. Полуразность оснований равна

поэтому

Площадь трапеции:

Объём пирамиды:

Ответ: $V=\frac{96\sqrt{3}}{125}\text{.}$