Задача №18236

Числа $p$ и $q$ подобраны так, что уравнение

$$2^{1+x}+p+q\cdot 2^{1-x}=0$$

имеет ровно два различных корня, а их сумма равна 4. Найти произведение всех различных корней уравнения

$$\left(x^2-5x-300\right)\left(x^2-px-q\right)=0.$$

Шаг 1. Сведение показательного уравнения к квадратному

Рассмотрим уравнение

$$2^{1+x}+p+q\cdot 2^{1-x}=0.$$

Сделаем замену $t=2^x\text{.}$ Поскольку $2^x>0$ при всех $x\text{,}$ переменная $t$ пробегает все положительные значения, причём соответствие $x\mapsto t=2^x$ — строго возрастающая биекция между $\mathbb{R}$ и $(0;+\infty )\text{.}$ Значит, различным $x$ отвечают различные $t>0\text{,}$ и наоборот.

Так как $2^{1+x}=2\cdot 2^x=2t$ и $2^{1-x}=\frac{2}{2^x}=\frac{2}{t}\text{,}$ уравнение принимает вид

$$2t+p+\frac{2q}{t}=0.$$

Умножив на $t>0$ (это эквивалентное преобразование, так как $t\ne 0$), получаем квадратное уравнение

$$2t^2+pt+2q=0.\text{\hspace{1em}(1)}$$

В силу биекции $x\leftrightarrow t$ условие «исходное уравнение имеет ровно два различных корня $x$» равносильно условию «уравнение $(1)$ имеет ровно два различных положительных корня $t_1,t_2$».

Шаг 2. Условия на два различных положительных корня и нахождение $q$

По теореме Виета для $(1)\text{:}$

$$t_1+t_2=-\frac{p}{2},t_1{t}_2=\frac{2q}{2}=q.$$

Чтобы оба корня были положительны и различны, необходимо и достаточно:

$$\text{дискриминант }{p}^2-16q>0,t_1+t_2=-\frac{p}{2}>0,t_1{t}_2=q>0.$$

Корни исходного уравнения суть $x_1={\log }_2{t}_1$ и $x_2={\log }_2{t}_2\text{.}$ Их сумма по условию равна 4:

$$x_1+x_2={\log }_2{t}_1+{\log }_2{t}_2={\log }_2\left(t_1{t}_2\right)={\log }_{2}q=4.$$

Отсюда однозначно

$$\boxed{q=2^4=16.}$$

Дополнительно из неравенств $q>0$ (выполнено, $q=16$), $-\frac{p}{2}>0$ и $p^2-16q=p^2-256>0$ получаем $p<0$ и $|p|>16\text{,}$ то есть $p<-16\text{.}$ Конкретное значение $p$ условием не фиксируется (это целое семейство), но для дальнейшего важно лишь, что $q=16$ и $p<-16\text{.}$

Шаг 3. Анализ второго уравнения

Требуется найти произведение всех различных корней уравнения

$$\left(x^2-5x-300\right)\left(x^2-px-q\right)=0,q=16.$$

Произведение нулей произведения многочленов — это объединение корней двух множителей.

Первый множитель $x^2-5x-300=0\text{.}$ Дискриминант $25+1200=1225=35^2>0\text{,}$ корни

$$x=\frac{5\pm 35}{2}=20\text{и}-15,$$

они различны, их произведение по Виете равно $-300\text{.}$

Второй множитель $x^2-px-16=0\text{.}$ Его дискриминант $p^2+64>0$ при любом $p\text{,}$ поэтому всегда два различных действительных корня; их произведение по Виете равно $-16\text{.}$

Шаг 4. Проверка, что все четыре корня различны

«Произведение всех различных корней» совпадает с произведением всех четырёх корней лишь при отсутствии общих корней у множителей. Проверим, может ли корень первого множителя удовлетворять второму при допустимых $p<-16\text{.}$

• Подстановка $x=20$ в $x^2-px-16\text{:}$ $400-20p-16=0\Rightarrow p=\frac{384}{20}=19,2>0$ — не лежит в области $p<-16\text{.}$
• Подстановка $x=-15\text{:}$ $225+15p-16=0\Rightarrow p=-\frac{209}{15}\approx -13,93$ — тоже не меньше $-16\text{.}$

Следовательно, ни при одном допустимом $p<-16$ множители общих корней не имеют, корни внутри каждого множителя различны, и всего ровно четыре различных корня.

Шаг 5. Произведение всех различных корней

Произведение всех четырёх различных корней равно произведению корней первого множителя на произведение корней второго:

$$(-300)\cdot (-16)=4800.$$

Это число не зависит от конкретного $p$ (важно лишь $q=16$).

Ответ: $4800\text{.}$