Числа p и q подобраны так, что уравнение 2^(1+x)+p+q* 2^(1-x)=0 имеет ровно два различных корня, а их сумма равна 4. Найти произведение всех различных корней уравнения (x^2-5x-300)(x^2-px-q)=0.

## Шаг 1. Сведение показательного уравнения к квадратному Рассмотрим уравнение 2^(1+x)+p+q* 2^(1-x)=0. Сделаем замену t=2^x . Поскольку 2^x>0 при всех x , переменная t пробегает все положительные значения, причём соответствие x t=2^x — строго возрастающая биекция между R и (0;+inf) . Значит, различным x отвечают различные t>0 , и наоборот. Так как 2^(1+x)=2* 2^x=2t и 2^(1-x)=(2)/(2^x)=(2)/(t) , уравнение принимает вид 2t+p+(2q)/(t)=0. Умножив на t>0 (это эквивалентное преобразование, так как t!= 0 ), получаем квадратное уравнение 2t^2+pt+2q=0. 1 В силу биекции x t условие «исходное уравнение имеет ровно два различных корня x » равносильно условию «уравнение (1) имеет ровно два различных **положительных** корня t_1,t_2 ». ## Шаг 2. Условия на два различных положительных корня и нахождение q По теореме Виета для (1): t_1+t_2=-(p)/(2), t_1 t_2=(2q)/(2)=q. Чтобы оба корня были положительны и различны, необходимо и достаточно: дискриминант p^2-16q>0, t_1+t_2=-(p)/(2)>0, t_1 t_2=q>0. Корни исходного уравнения суть x_1=_2 t_1 и x_2=_2 t_2 . Их сумма по условию равна 4: x_1+x_2=_2 t_1+_2 t_2=_2(t_1 t_2)=_2 q=4. Отсюда однозначно q=2^4=16. Дополнительно из неравенств q>0 (выполнено, q=16 ), -(p)/(2)>0 и p^2-16q=p^2-256>0 получаем p<0 и |p|>16 , то есть p<-16 . Конкретное значение p условием не фиксируется (это целое семейство), но для дальнейшего важно лишь, что q=16 и p<-16 . ## Шаг 3. Анализ второго уравнения Требуется найти произведение всех различных корней уравнения (x^2-5x-300)(x^2-px-q)=0, q=16. Произведение нулей произведения многочленов — это объединение корней двух множителей. **Первый множитель** x^2-5x-300=0 . Дискриминант 25+1200=1225=35^2>0 , корни x=(5+- 35)/(2)=20 и -15, они различны, их произведение по Виете равно -300 . **Второй множитель** x^2-px-16=0 . Его дискриминант p^2+64>0 при любом p , поэтому всегда два различных действительных корня; их произведение по Виете равно -16 . ## Шаг 4. Проверка, что все четыре корня различны «Произведение всех **различных** корней» совпадает с произведением всех четырёх корней лишь при отсутствии общих корней у множителей. Проверим, может ли корень первого множителя удовлетворять второму при допустимых p<-16 . - Подстановка x=20 в x^2-px-16 : 400-20p-16=0=> p=(384)/(20)=19,2>0 — не лежит в области p<-16 . - Подстановка x=-15 : 225+15p-16=0=> p=-(209)/(15)~ -13,93 — тоже не меньше -16 . Следовательно, ни при одном допустимом p<-16 множители общих корней не имеют, корни внутри каждого множителя различны, и всего ровно четыре различных корня. ## Шаг 5. Произведение всех различных корней Произведение всех четырёх различных корней равно произведению корней первого множителя на произведение корней второго: (-300)*(-16)=4800. Это число не зависит от конкретного p (важно лишь q=16 ). **Ответ:** 4800 .

\(4800\)