58:I[522016,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],""] 59:I[505014,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"default"] 5a:I[830789,["/_next/static/chunks/1l0ugy4f_g9if.js","/_next/static/chunks/42m471_-ggeuu.js","/_next/static/chunks/0pvcd15gyrdle.js","/_next/static/chunks/40k_9635fsobg.js","/_next/static/chunks/2kny7g7cmdgau.js","/_next/static/chunks/1hnagjlorsnch.js","/_next/static/chunks/3wjm-lkxowaj1.js","/_next/static/chunks/0ezaxll684c_6.js","/_next/static/chunks/3snfz_4w-hdm5.js","/_next/static/chunks/0aj_rzteljc7y.js","/_next/static/chunks/3r08ia7be-4eb.js","/_next/static/chunks/34y9kqp57wzq0.js","/_next/static/chunks/1gth-4_-i6d22.js","/_next/static/chunks/0crrm0ypm8rb2.js","/_next/static/chunks/2mwo5a_hl07u2.js","/_next/static/chunks/0uawcagtzxfe7.js","/_next/static/chunks/1pgw3ehs1xmoz.js","/_next/static/chunks/3m8xczvg46f36.js","/_next/static/chunks/1272_n4wxup9k.js","/_next/static/chunks/1sa1da0v82u_j.js","/_next/static/chunks/0hjjiu3cvaxe1.js","/_next/static/chunks/3n0q54hl51_be.js","/_next/static/chunks/1_rzbe8cbqjn4.js","/_next/static/chunks/35_m-6_ogzbtf.js","/_next/static/chunks/19iga1irtbmq0.js","/_next/static/chunks/32so6bg2s81jk.js","/_next/static/chunks/0kme_vyrrbl-_.js","/_next/static/chunks/3bgt1mf8bg7nr.js","/_next/static/chunks/1gpgplps008af.js","/_next/static/chunks/1o4x6q07piih_.js","/_next/static/chunks/38qc-68-sm66x.js","/_next/static/chunks/2ssvop4anifhm.js","/_next/static/chunks/2fvqxssb9qlp1.js","/_next/static/chunks/1oet5r71csw1v.js","/_next/static/chunks/33ehj3wdouvlx.js","/_next/static/chunks/09juct9z4ddqr.js","/_next/static/chunks/0jcgk4oe2k2g1.js","/_next/static/chunks/2n282cuqnq5f1.js","/_next/static/chunks/1nyob2_d8buf2.js","/_next/static/chunks/2t05trrjwoaw2.js","/_next/static/chunks/1awswa8jfoejr.js","/_next/static/chunks/11afkc95ag3r1.js","/_next/static/chunks/12gl18m58qdy8.js","/_next/static/chunks/40bupfdtvpz39.js","/_next/static/chunks/1w9kbyy6aleuu.js","/_next/static/chunks/2m-6js6tayqzo.js","/_next/static/chunks/1qrnyhgaoyjm4.js","/_next/static/chunks/1f244ube8ykj-.js","/_next/static/chunks/2mjbz2j6ml_c8.js","/_next/static/chunks/3g08p5jjax64u.js","/_next/static/chunks/01ndwrrerm5i5.js","/_next/static/chunks/2da4xtko_kmm_.js","/_next/static/chunks/3uj4yqlce-hqt.js","/_next/static/chunks/4109tpu2eqvyu.js","/_next/static/chunks/42-4oktzcv5t4.js","/_next/static/chunks/1thf33nm192dh.js","/_next/static/chunks/1_v1m9nppl8-p.js","/_next/static/chunks/42gl31n104rh1.js","/_next/static/chunks/2qt14_7k8lvej.js","/_next/static/chunks/1131qzpta95ed.js","/_next/static/chunks/04s-vi-rdrh8b.js"],"CollectionDetailClient",1] 5b:T1786,Обозначим первый член прогрессии через $a$, а разность через $d$. Так как прогрессия целочисленная, $a$ и $d$ — целые числа, и $k$-й член равен $a_k=a+(k-1)d$. **Первое условие.** Сумма первых шести членов равна \[ S_{1\text{-}6}=\sum_{k=1}^{6}\bigl(a+(k-1)d\bigr)=6a+(0+1+2+3+4+5)d=6a+15d, \] а сумма следующих шести членов (с седьмого по двенадцатый) равна \[ S_{7\text{-}12}=\sum_{k=7}^{12}\bigl(a+(k-1)d\bigr)=6a+(6+7+8+9+10+11)d=6a+51d. \] Их разность равна \[ S_{1\text{-}6}-S_{7\text{-}12}=(6a+15d)-(6a+51d)=-36d, \] поэтому первое условие принимает вид \[ \bigl|{-36d}\bigr|<450\quad\Longleftrightarrow\quad |d|<\frac{450}{36}=\frac{25}{2}=12{,}5. \] Так как $d$ целое, отсюда $|d|\leqslant 12$. **Второе условие** (ключевое). Требуется, чтобы сумма первых пяти членов \[ S_5=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5 \] более чем на $5$ превышала сумму любого другого набора различных членов прогрессии. Под «набором» понимается любой конечный поднабор членов; среди всех таких наборов сумма максимальна тогда, когда в него взяты ровно те члены, которые положительны (добавление неположительного члена не увеличивает сумму, а отбрасывание положительного — уменьшает). Значит, чтобы среди всех наборов наибольшую сумму давал именно набор первых пяти членов, необходимо, чтобы множество положительных членов прогрессии совпадало с $\{a_1,\dots,a_5\}$. Прежде всего у прогрессии вообще должен существовать набор с наибольшей суммой: при $d\geqslant 0$ члены не убывают и (при $d>0$) неограниченно растут, так что суммы наборов не ограничены сверху и наибольшего набора нет; при $d=0$ все члены равны и выделить ровно первые пять как единственные положительные невозможно. Поэтому $d<0$: прогрессия строго убывает. Тогда условие «положительны ровно первые пять членов» означает \[ a_5=a+4d>0,\qquad a_6=a+5d\leqslant 0. \] Найдём ближайших по сумме «конкурентов» набора $\{a_1,\dots,a_5\}$. Любой другой набор получается из него либо отбрасыванием включённых членов, либо добавлением отброшенных. Поскольку отбрасывают положительные, а добавляют неположительные члены, наибольшую из конкурирующих сумм даёт одно из двух минимальных изменений: \[ \text{убрать наименьший включённый член }a_5:\quad S_5-a_5, \] \[ \text{добавить наибольший отброшенный член }a_6:\quad S_5+a_6=S_5-|a_6|. \] Любое иное изменение уменьшает сумму ещё сильнее. Поэтому условие «$S_5$ превышает любой другой набор более чем на $5$» равносильно одновременному выполнению \[ S_5-(S_5-a_5)=a_5>5\qquad\text{и}\qquad S_5-(S_5-|a_6|)=|a_6|>5. \] (В частности, отсюда $a_6\neq 0$: при $a_6=0$ набор $\{a_1,\dots,a_5,a_6\}$ имел бы ту же сумму, и превышение было бы нулевым.) Итак, \[ a+4d>5,\qquad a+5d<-5. \] **Совмещение условий.** Вычтем второе неравенство из первого: \[ (a+4d)-(a+5d)>5-(-5)\ \Longrightarrow\ -d>10\ \Longrightarrow\ d<-10, \] то есть $d\leqslant -11$. Вместе с $|d|\leqslant 12$ и $d<0$ остаётся $d\in\{-11,\,-12\}$. Так как $a$, $d$ целые, неравенства можно записать в целочисленном виде: \[ a+4d\geqslant 6,\qquad a+5d\leqslant -6, \] то есть \[ a\geqslant 6-4d,\qquad a\leqslant -6-5d. \] Совместность требует $6-4d\leqslant -6-5d$, откуда $d\leqslant -12$. С учётом $|d|\leqslant 12$ получаем единственное значение $d=-12$, и тогда \[ 6-4d=6+48=54,\qquad -6-5d=-6+60=54, \] так что $a=54$ определяется однозначно. **Проверка.** При $a=54,\ d=-12$ первые двенадцать членов таковы: \[ 54,\ 42,\ 30,\ 18,\ 6,\ -6,\ -18,\ -30,\ -42,\ -54,\ -66,\ -78. \] Первое условие: $S_{1\text{-}6}-S_{7\text{-}12}=-36\cdot(-12)=432$, и $|432|<450$. Второе условие: положительны ровно $a_1,\dots,a_5$, их сумма $S_5=54+42+30+18+6=150$ — наибольшая среди сумм всех наборов. Ближайшие конкуренты дают сумму $150-a_5=150-6=144$ и $150-|a_6|=150-6=144$; в обоих случаях $150-144=6>5$, а все прочие наборы дают сумму ещё меньшую. Оба условия выполнены. Таким образом, первый член прогрессии равен $\boxed{54}$.5c:T193a,Требуется решить неравенство \[\sqrt{\dfrac{4x^7-10x^3}{4x-x^3-3}}\leqslant x^3.\] **Предварительные преобразования.** Разложим на множители числитель и знаменатель подкоренной дроби: \[4x^7-10x^3=2x^3\bigl(2x^4-5\bigr),\qquad 4x-x^3-3=-\bigl(x^3-4x+3\bigr)=-(x-1)\bigl(x^2+x-3\bigr).\] Таким образом, подкоренное выражение есть \[R(x)=\dfrac{2x^3\bigl(2x^4-5\bigr)}{-(x-1)\bigl(x^2+x-3\bigr)}.\] **Необходимое условие на знак правой части.** Левая часть неравенства есть арифметический корень, то есть $\sqrt{R(x)}\geqslant 0$. Чтобы неотрицательная величина не превосходила $x^3$, необходимо $x^3\geqslant 0$, то есть $x\geqslant 0$. При $x<0$ правая часть $x^3<0$, а левая неотрицательна, поэтому неравенство невозможно. Значит, далее рассматриваем только $x\geqslant 0$. **Случай $x=0$.** Тогда $R(0)=\dfrac{0}{-3}=0$, левая часть равна $\sqrt{0}=0$, правая равна $0^3=0$, и неравенство $0\leqslant 0$ выполнено. Значит, $x=0$ — решение. **Случай $x>0$.** Здесь $x^3>0$ и обе части неотрицательны (с учётом области определения, в которой $R(x)\geqslant 0$). Для неотрицательных чисел неравенство $\sqrt{R(x)}\leqslant x^3$ равносильно системе \[\begin{cases}R(x)\geqslant 0\quad(\text{область определения}),\\R(x)\leqslant x^6\quad(\text{возведение в квадрат}).\end{cases}\] (Условие $R(x)\geqslant 0$ уже обеспечивает определённость корня, а $x^3>0$, так что возведение в квадрат равносильно.) Преобразуем второе неравенство. Перенося всё в одну часть и приводя к общему знаменателю, получаем \[x^6-R(x)=x^6-\dfrac{2x^3\bigl(2x^4-5\bigr)}{-(x-1)(x^2+x-3)}=\dfrac{x^6\cdot\bigl(-(x-1)(x^2+x-3)\bigr)-2x^3(2x^4-5)}{-(x-1)(x^2+x-3)}.\] Числитель этой дроби раскрывается и раскладывается так: \[x^6\bigl(4x-x^3-3\bigr)-2x^3\bigl(2x^4-5\bigr)=-x^3\bigl(x^3-2\bigr)\bigl(x^3+5\bigr).\] Следовательно, \[x^6-R(x)=\dfrac{-x^3(x^3-2)(x^3+5)}{-(x-1)(x^2+x-3)}=\dfrac{x^3(x^3-2)(x^3+5)}{(x-1)(x^2+x-3)}.\] Итак, при $x>0$ исходное неравенство равносильно системе \[\begin{cases}\dfrac{2x^3(2x^4-5)}{-(x-1)(x^2+x-3)}\geqslant 0,\\\dfrac{x^3(x^3-2)(x^3+5)}{(x-1)(x^2+x-3)}\geqslant 0.\end{cases}\] **Анализ знаков при $x>0$.** На положительной полуоси $x^3>0$ и $x^3+5>0$, поэтому эти множители на знак не влияют. Положительные корни остальных множителей расположены так: \[1<\sqrt[4]{5/2}<\sqrt[3]{2}<\dfrac{\sqrt{13}-1}{2},\] поскольку $2x^4-5=0$ при $x=\sqrt[4]{5/2}\approx1{,}2574$; $x^3-2=0$ при $x=\sqrt[3]{2}\approx1{,}2599$; $x-1=0$ при $x=1$; а $x^2+x-3=0$ при $x=\dfrac{-1+\sqrt{13}}{2}\approx1{,}3028$ (отрицательный корень нас не интересует). Знаменатель $(x-1)(x^2+x-3)$ для $x>0$ обращается в нуль в точках $x=1$ и $x=\dfrac{-1+\sqrt{13}}{2}$, которые исключаются из области определения. Разберём промежутки. | Промежуток $(x>0)$ | знак $2x^4-5$ | знак $(x-1)(x^2+x-3)$ | ОДЗ: $R(x)\geqslant 0$ | знак $(x^3-2)$ | $x^6-R(x)\geqslant 0$ | |---|---|---|---|---|---| | $00$) | $-$ | нет | | $\sqrt[4]{5/2}0$) | $-$ | да | | $\sqrt[3]{2}0$) | $+$ | нет | | $x>\frac{\sqrt{13}-1}{2}$ | $+$ | $+$ | нет ($R<0$) | $+$ | — | Поясним ключевую строку. На $(0;1)$ знаменатель $(x-1)(x^2+x-3)$ положителен (оба множителя отрицательны), а $2x^4-5<0$, значит $R(x)<0$ — область определения не выполнена. На промежутке $\bigl(\sqrt[4]{5/2};\,\sqrt[3]{2}\bigr)$ имеем $2x^4-5>0$ и $(x-1)(x^2+x-3)<0$, поэтому $R(x)>0$ (ОДЗ выполнено); одновременно $(x^3-2)<0$, а знаменатель $(x-1)(x^2+x-3)<0$, и в выражении $\dfrac{x^3(x^3-2)(x^3+5)}{(x-1)(x^2+x-3)}$ числитель отрицателен, знаменатель отрицателен — дробь положительна, то есть $x^6-R(x)\geqslant 0$. Здесь оба условия системы выполнены. На остальных промежутках, как видно из таблицы, хотя бы одно из двух условий нарушается, поэтому решений среди $x>0$ там нет. **Граничные точки.** Точку $x=\sqrt[4]{5/2}$ включаем: там $2x^4-5=0$, значит $R(x)=0$, левая часть равна $0$, а правая $x^3>0$, и неравенство $0\leqslant x^3$ выполнено. Точку $x=\sqrt[3]{2}$ тоже включаем: там $x^3-2=0$, то есть $x^6-R(x)=0$, а значит $R(x)=x^6$ и $\sqrt{R(x)}=x^3$ — достигается равенство. Точки $x=1$ и $x=\dfrac{-1+\sqrt{13}}{2}$ исключены как нули знаменателя. **Итог.** Решениями являются изолированная точка $x=0$ и отрезок $\bigl[\sqrt[4]{5/2};\,\sqrt[3]{2}\bigr]$: \[\boxed{\,x=0\quad\text{и}\quad \sqrt[4]{5/2}\leqslant x\leqslant\sqrt[3]{2}\,.}\]5d:T1090,Обозначим $AB=c$, $AC=b$. Так как $AL$ — биссектриса угла $A$, а $\angle BAL=60^\circ$, то весь угол при вершине $A$ равен \[\angle BAC=2\angle BAL=120^\circ.\] **Площадь треугольника $ABC$.** Поместим точку $A$ в начало координат, а биссектрису $AL$ направим вдоль положительной оси $x$ (внутрь треугольника). Тогда лучи $AB$ и $AC$ идут под углами $+60^\circ$ и $-60^\circ$ к оси $x$, то есть \[B=\left(\tfrac{c}{2},\ \tfrac{c\sqrt3}{2}\right),\qquad C=\left(\tfrac{b}{2},\ -\tfrac{b\sqrt3}{2}\right).\] Точка $D$ лежит на продолжении биссектрисы за точку $A$, значит на отрицательной полуоси $x$; из $AD=10$ получаем \[D=(-10,\ 0).\] Найдём угол $BDC$. Векторы \[\vec{DB}=\left(\tfrac{c}{2}+10,\ \tfrac{c\sqrt3}{2}\right),\qquad \vec{DC}=\left(\tfrac{b}{2}+10,\ -\tfrac{b\sqrt3}{2}\right).\] Их скалярное произведение и (модуль) векторного произведения дают \[\tan(\angle BDC)=\frac{\bigl|\vec{DB}\times\vec{DC}\bigr|}{\vec{DB}\cdot\vec{DC}}=\frac{\sqrt3\,\bigl(b(c+20)+c(b+20)\bigr)}{(b+20)(c+20)-3bc}.\] Условие $\angle BDC=60^\circ$ означает $\tan(\angle BDC)=\sqrt3$, что после упрощения равносильно уравнению \[b(c+20)+c(b+20)=(b+20)(c+20)-3bc,\] \[2bc+20b+20c=bc+20b+20c+400-3bc\ \Longleftrightarrow\ 4bc=bc+400\ \Longleftrightarrow\ bc=100.\] Итак, условие $\angle BDC=60^\circ$ однозначно фиксирует **произведение** сторон: $AB\cdot AC=bc=100$. Тогда площадь треугольника $ABC$ (угол между сторонами $b$ и $c$ равен $120^\circ$) равна \[S_{ABC}=\frac12\,bc\sin 120^\circ=\frac12\cdot 100\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\boxed{25\sqrt3}.\] Эта величина не зависит от формы треугольника — она одна и та же для всех допустимых конфигураций. **Наименьшая площадь треугольника $BDC$.** Площадь треугольника $BDC$ удобно выразить через стороны $DB$ и $DC$ и угол $\angle BDC=60^\circ$: \[S_{BDC}=\frac12\,DB\cdot DC\sin 60^\circ.\] Вычислим длины из координат (с учётом $b=\dfrac{100}{c}$): \[DB=\sqrt{\left(\tfrac{c}{2}+10\right)^2+\tfrac{3c^2}{4}}=\sqrt{c^2+10c+100},\] \[DC=\sqrt{\left(\tfrac{b}{2}+10\right)^2+\tfrac{3b^2}{4}}=\sqrt{b^2+10b+100}.\] Прямое вычисление ориентированной площади (вершина $B$ выше оси, $C$ — ниже) даёт компактное выражение \[S_{BDC}=\frac{5\sqrt3\,(c^2+10c+100)}{2c}=\frac{5\sqrt3}{2}\left(c+10+\frac{100}{c}\right).\] Минимизируем $c+\dfrac{100}{c}$ при $c>0$. По неравенству о среднем арифметическом и геометрическом \[c+\frac{100}{c}\geqslant 2\sqrt{c\cdot\frac{100}{c}}=2\sqrt{100}=20,\] причём равенство достигается при $c=\dfrac{100}{c}$, то есть $c=10$ (тогда и $b=\dfrac{100}{c}=10$, значит $AB=AC=10$ — треугольник $ABC$ равнобедренный). Поэтому \[c+10+\frac{100}{c}\geqslant 30,\qquad S_{BDC}\geqslant \frac{5\sqrt3}{2}\cdot 30=75\sqrt3.\] Минимум достигается при $c=b=10$; в этом случае $DB=DC=\sqrt{300}=10\sqrt3$ и $BC=\sqrt{b^2+c^2+bc}=\sqrt{300}=10\sqrt3$, то есть треугольник $BDC$ оказывается равносторонним. Наименьшая площадь треугольника $BDC$ равна \[\boxed{75\sqrt3}.\] **Ответ:** площадь треугольника $ABC$ равна $25\sqrt3$; наименьшая площадь треугольника $BDC$ равна $75\sqrt3$.5e:T1e12,Разберём каждое уравнение системы по отдельности, а затем найдём площадь пересечения задаваемых ими множеств. **Второе уравнение задаёт горизонтальную полуполосу.** Рассмотрим равенство \[|x|+|y+1|+|y-1|=x+2.\] Для любого числа справедливо $|x|\geqslant x$, причём равенство достигается тогда и только тогда, когда $x\geqslant 0$. Кроме того, по неравенству треугольника \[|y+1|+|y-1|\geqslant\bigl|(y+1)-(y-1)\bigr|=2,\] причём равенство достигается тогда и только тогда, когда числа $y+1$ и $-(y-1)=1-y$ одного знака (или одно из них равно нулю), то есть при $-1\leqslant y\leqslant 1$. Складывая две оценки, получаем \[|x|+|y+1|+|y-1|\geqslant x+2.\] Значит, равенство в исходном уравнении возможно лишь тогда, когда обе оценки обращаются в равенства одновременно: \[\begin{cases}x\geqslant 0,\\ -1\leqslant y\leqslant 1.\end{cases}\] Итак, второе уравнение задаёт полуполосу $\{x\geqslant 0,\ -1\leqslant y\leqslant 1\}$. **Первое уравнение есть условие совпадения знаков.** В первом уравнении присутствует $\log_2 x$, поэтому необходимо $x>0$ (что согласуется с условием $x\geqslant 0$ выше, лишь убирая прямую $x=0$). Введём обозначения \[A=y+\log_2 x,\qquad B=y+1-2^{\,x-1}.\] Тогда \[A+B=2y+1+\log_2 x-2^{\,x-1}=2y-2^{\,x-1}+1+\log_2 x,\] то есть правая часть первого уравнения равна в точности $|A+B|$. Стало быть, уравнение принимает вид \[|A|+|B|=|A+B|.\] Это классическое равенство: для любых вещественных $A,B$ всегда $|A|+|B|\geqslant|A+B|$, и равенство достигается тогда и только тогда, когда $A$ и $B$ одного знака либо хотя бы одно из них равно нулю, то есть \[A\cdot B\geqslant 0.\] Таким образом, первое уравнение равносильно неравенству \[\bigl(y+\log_2 x\bigr)\bigl(y+1-2^{\,x-1}\bigr)\geqslant 0.\] **Геометрическая картина внутри полосы.** Искомая фигура есть пересечение полуполосы $\{x>0,\ -1\leqslant y\leqslant 1\}$ с множеством $A\cdot B\geqslant 0$. Границы знаков задают две кривые: \[A=0:\quad y=-\log_2 x\qquad(\text{равносильно }x=2^{-y}),\] \[B=0:\quad y=2^{\,x-1}-1\qquad(\text{равносильно }x=1+\log_2(y+1)).\] Первая кривая (убывающая) проходит через точки $(\tfrac12,1)$, $(1,0)$, $(2,-1)$; внутри полосы $-1\leqslant y\leqslant 1$ она существует при $\tfrac12\leqslant x\leqslant 2$. Вторая кривая (возрастающая) проходит через точки $(0,-\tfrac12)$, $(1,0)$, $(2,1)$; в полосе она лежит при $02$ выполнено $b(x)>1$ и $a(x)<-1$, поэтому ни один из участков не попадает в полосу — фигура целиком лежит в области $01$, и часть пуста. Поэтому \[S_{+}=\int_{1/2}^{1}\bigl(1-(-\log_2 x)\bigr)\,dx+\int_{1}^{2}\bigl(1-(2^{\,x-1}-1)\bigr)\,dx=\int_{1/2}^{1}\bigl(1+\log_2 x\bigr)\,dx+\int_{1}^{2}\bigl(2-2^{\,x-1}\bigr)\,dx.\] Отрицательная часть. Она требует $y\leqslant\min(a,b)$, $y\geqslant -1$. На участке $0R$. Из равенства радиусов касания $bt=c$ находим $t=\dfrac{c}{b}$, откуда искомое расстояние \[\rho=at=\frac{a\,c}{b},\qquad R=c.\] Условие «$O$ внутри сечения» даёт $t=\dfrac{c}{b}\le 1$, а условие «нет общих точек с $AA'D$» даёт $at>c$, то есть $\dfrac{a}{b}>1$, значит $a>b$. **Определение размеров.** Перебираем все назначения чисел $\{2,6,9\}$ рёбрам $(a,b,c)=(AB,AD,AA')$ и оставляем те, где одновременно $t=\dfrac{c}{b}\le 1$ и $\dfrac{ac}{b}>c$: | $AB=a$ | $AD=b$ | $AA'=c$ | $t=c/b$ | $R=c$ | $\rho=ac/b$ | $t\le1$ | $\rho>R$ | |---|---|---|---|---|---|---|---| | 2 | 6 | 9 | $3/2$ | 9 | 3 | нет | нет | | 2 | 9 | 6 | $2/3$ | 6 | $4/3$ | да | нет | | 6 | 2 | 9 | $9/2$ | 9 | 27 | нет | да | | 6 | 9 | 2 | $2/9$ | 2 | $4/3$ | да | нет | | 9 | 2 | 6 | $3$ | 6 | 27 | нет | да | | 9 | 6 | 2 | $1/3$ | 2 | 3 | да | да | Всем условиям удовлетворяет единственное назначение: $AB=9,\ AD=6,\ AA'=2$. При нём \[t=\frac{1}{3},\quad O=(3,\,2,\,0),\quad R=c=2,\quad \rho=\frac{a c}{b}=\frac{9\cdot 2}{6}=3.\] Проверим всё прямо: расстояние до $A'B'C'\ (z=2)$ равно $2=R$ (касание); расстояние до $AA'B\ (y=0)$ равно $2=R$ (касание); расстояние до $AA'D\ (x=0)$ равно $3>2=R$ (общих точек нет). Сумма углов: $\arccos\frac{3}{\sqrt{13}}+\arccos\frac{2}{\sqrt{13}}+90^\circ=33{,}69^\circ+56{,}31^\circ+90^\circ=180^\circ$. **Ответ.** Расстояние от точки $O$ до плоскости $AA'D$ равно $\boxed{3}$.60:T19f1,Требуется найти все $\alpha$, при которых множество корней уравнения \[\cos\alpha\cos 3x-\sin 3\alpha\cos x+2\sin 2\alpha\cos 2x=3\sin\alpha-\cos 3x\] устроено так, что расстояние между любыми двумя соседними корнями не превосходит $\dfrac{\pi}{3}$. **Шаг 1. Приведение к многочлену от $\cos x$.** Перенесём всё в левую часть: \[(\cos\alpha+1)\cos 3x-\sin 3\alpha\cos x+2\sin 2\alpha\cos 2x-3\sin\alpha=0.\] Подставим формулы кратных углов $\cos 3x=4\cos^3 x-3\cos x$, $\cos 2x=2\cos^2 x-1$, $\sin 3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha$, $\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$. Обозначив $c=\cos x$, после группировки получаем тождественно равную запись \[(1+\cos\alpha)\,(4c^3-3c)+\sin\alpha\,\bigl(8\cos\alpha\, c^2+(4\sin^2\alpha-3)\,c-4\cos\alpha-3\bigr)=0.\] Это многочлен по $c$ степени не выше третьей; его коэффициенты: \[a_3=4(\cos\alpha+1),\quad a_2=4\sin 2\alpha,\quad a_1=4\sin^3\alpha-3\sin\alpha-3\cos\alpha-3,\quad a_0=-(4\cos\alpha+3)\sin\alpha.\] **Шаг 2. Оценка числа корней (общий случай $\cos\alpha\neq -1$).** Если $\cos\alpha\neq-1$, то $a_3\neq 0$ и уравнение — кубическое по $c=\cos x$. Кубическое уравнение имеет не более трёх корней $c$. Каждому значению $c\in(-1,1)$ отвечают на периоде длины $2\pi$ ровно два значения $x$ (вида $\pm x_0+2\pi k$), а значениям $c=\pm1$ — по одному. Поэтому на любом промежутке длины $2\pi$ уравнение имеет **не более $6$ корней**. Сумма всех зазоров между соседними корнями на периоде $2\pi$ равна $2\pi$. Если зазоров не более шести и каждый не превосходит $\dfrac{\pi}{3}$, то \[2\pi=\sum(\text{зазоры})\le 6\cdot\frac{\pi}{3}=2\pi.\] Равенство возможно лишь когда корней ровно шесть и **все** зазоры равны в точности $\dfrac{\pi}{3}$. Значит корни образуют арифметическую прогрессию $x=x_0+\dfrac{\pi}{3}k$. **Шаг 3. Когда шесть равноотстоящих корней совместимы с кубикой?** Шесть точек $x_0+\dfrac{\pi}{3}k$ ($k=0,\dots,5$) дают шесть значений $\cos x$. Но они обязаны совпадать с корнями кубического уравнения по $c$, которых не более трёх. Значит среди шести косинусов должно быть **не более трёх различных** значений. Точки разбиваются на пары $x_0+\dfrac{\pi}{3}k$ и $x_0+\dfrac{\pi}{3}k+\pi$, косинусы которых отличаются знаком; поэтому в общем положении получаются шесть различных значений. Слияние до трёх значений (набор, замкнутый относительно смены знака) происходит лишь когда среди косинусов есть нуль, то есть когда узлы прогрессии — это в точности нули $\cos 3x$: $x=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{3}k$, а соответствующий набор косинусов есть $\left\{-\dfrac{\sqrt3}{2},\,0,\,\dfrac{\sqrt3}{2}\right\}$, то есть корни уравнения $4c^3-3c=0$, равносильного $\cos 3x=0$. Итак, условие выполнимо только если исходное уравнение пропорционально $\cos 3x$, то есть $4c^3-3c$. Это требует \[a_2=0,\qquad a_0=0,\qquad a_1=-\tfrac{3}{4}\,a_3.\] Из $a_2=4\sin 2\alpha=0$ имеем $\alpha=\dfrac{\pi m}{2}$; из $a_0=-(4\cos\alpha+3)\sin\alpha=0$ получаем $\sin\alpha=0$ (значение $\cos\alpha=-\tfrac34$ при $\alpha=\tfrac{\pi m}{2}$ не достигается), то есть $\alpha=\pi n$. Среди них пропорциональность $a_1=-\tfrac34 a_3$ выполнена. При $\alpha=2\pi k$ ($\cos\alpha=1,\ \sin\alpha=0$) уравнение превращается в \[2(4\cos^3x-3\cos x)=2\cos 3x=0\ \Longleftrightarrow\ \cos 3x=0,\] \[3x=\frac{\pi}{2}+\pi k\ \Longrightarrow\ x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}k,\] и соседние корни отстоят ровно на $\dfrac{\pi}{3}$. Так как в условии стоит нестрогое неравенство $\le\dfrac{\pi}{3}$, равенство допускается — эти $\alpha$ подходят. **Шаг 4. Вырожденный случай $\cos\alpha=-1$, то есть $\alpha=\pi+2\pi k$.** Тогда $\sin\alpha=0$, $\sin 2\alpha=0$, $\sin 3\alpha=0$, и уравнение принимает вид \[-\cos 3x=-\cos 3x,\] то есть превращается в тождество: его решением является **любое** действительное $x$. Множество корней — вся прямая, «соседних» корней с положительным расстоянием нет, расстояние между корнями равно нулю и заведомо не превосходит $\dfrac{\pi}{3}$. Поэтому такие $\alpha$ также подходят. **Шаг 5. Сборка ответа.** Случаи $\alpha=2\pi k$ (Шаг 3) и $\alpha=\pi+2\pi k$ (Шаг 4) вместе дают $\alpha=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$. Все остальные $\alpha$ дают на периоде не более шести корней с хотя бы одним зазором, строго большим $\dfrac{\pi}{3}$ (а при $\cos\alpha$ близком к $1$, но $\sin\alpha\neq0$, уже малое отклонение $\alpha$ от $\pi n$ разрушает равенство зазоров и максимальный зазор становится строго больше $\dfrac{\pi}{3}$). **Ответ.** $\boxed{\ \alpha=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\ }$41:[["$","script",null,{"id":"collection-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"Course\",\"name\":\"Мехмат МГУ — март 2003\",\"description\":\"Коллекция \\\"Мехмат МГУ — март 2003\\\" для подготовки к экзамену. Содержит 6 задач. Готовьтесь к экзаменам онлайн.\",\"url\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections/mehmat-2003-03\",\"provider\":{\"@type\":\"Organization\",\"name\":\"SdamEx\",\"url\":\"https://sdamex.com\"},\"educationalLevel\":{\"@type\":\"EducationalOccupationalCredential\",\"credentialCategory\":\"ЕГЭ\"},\"hasCourseInstance\":{\"@type\":\"CourseInstance\",\"courseMode\":\"online\"},\"dateCreated\":\"2026-06-10T02:40:00.000Z\"}"}}],["$","script",null,{"id":"breadcrumb-schema","type":"application/ld+json","dangerouslySetInnerHTML":{"__html":"{\"@context\":\"https://schema.org\",\"@type\":\"BreadcrumbList\",\"itemListElement\":[{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":1,\"name\":\"Математика\",\"item\":\"https://sdamex.com/math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":2,\"name\":\"ДВИ МГУ (математика)\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":3,\"name\":\"Коллекции\",\"item\":\"https://sdamex.com/math/dvi-math/collections\"},{\"@type\":\"ListItem\",\"position\":4,\"name\":\"Мехмат МГУ — март 2003\"}]}"}}],["$","nav",null,{"aria-label":"Хлебные крошки","className":"min-w-0 mb-4","children":["$","ol",null,{"className":"flex flex-wrap items-center gap-x-1 gap-y-0.5 text-xs text-muted-foreground","children":[["$","li","Математика-0",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[false,["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Математика"}]]}],["$","li","ДВИ МГУ (математика)-1",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":[["path",{"d":"m9 18 6-6-6-6","key":"mthhwq"}]],"className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"ДВИ МГУ (математика)"}]]}],["$","li","Коллекции-2",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","$L58",null,{"prefetch":false,"href":"/math/dvi-math/collections","className":"relative truncate transition-colors hover:text-foreground after:absolute after:-inset-y-2 after:inset-x-0","children":"Коллекции"}]]}],["$","li","Мехмат МГУ — март 2003-3",{"className":"flex min-w-0 items-center gap-x-1","children":[["$","$L59",null,{"ref":"$undefined","iconNode":"$41:2:props:children:props:children:1:props:children:0:props:iconNode","className":"lucide-chevron-right h-3 w-3 shrink-0 opacity-60","aria-hidden":true}],["$","span",null,{"className":"truncate text-foreground/80","aria-current":"page","children":"Мехмат МГУ — март 2003"}]]}]]}]}],["$","$L5a",null,{"subject":"math","examCode":"dvi-math","collectionId":"mehmat-2003-03","serverCollection":{"id":"3a114fc8-4a7c-4f55-b6de-065b418499a8","name":"Мехмат МГУ — март 2003","code":"mehmat-2003-03","collection_type":"system_variant","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","exam_code":"dvi-math","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","hidden_problem_count":0,"session":"03","session_label":"Олимпиада «Абитуриент-2003», март (механико-математический факультет МГУ)","solved_count":0,"source":"Мехмат МГУ (архив, mathus.ru)","source_url":"https://mathus.ru/olymp/mm2003-03.pdf","total_problem_count":6,"variant_batch":"mehmat-1993-2010-v1","visible_problem_count":6,"year":2003},"created_at":"2026-06-10T02:40:00Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem_count":6,"visible_count":6,"total_count":6,"pdf_unlocked":false},"serverCollectionProblems":{"items":[{"problem_id":"1c383f4c-f8e7-4f9c-83c4-4ffff27fd410","collection_id":"3a114fc8-4a7c-4f55-b6de-065b418499a8","display_order":1,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"1c383f4c-f8e7-4f9c-83c4-4ffff27fd410","short_id":18227,"task_number":92,"topic_id":"df51d0dd-1877-4622-8eb8-50a8151bbd7d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":6,"content_text":"Найти первый член целочисленной арифметической прогрессии, у которой сумма первых шести членов отличается от суммы следующих шести членов менее чем на 450, а сумма первых пяти членов превышает более чем на 5 сумму любого другого набора различных членов этой прогрессии.","answer_text":"\$54\$","answer":"\$54\$","solution_text":"$5b","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":1,"session":"03","variant_key":"mm2003-03","year":2003},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"df51d0dd-1877-4622-8eb8-50a8151bbd7d","name":"Прогрессии","description":null},"tags":[{"id":"bdc218ab-0917-4a7d-9ebf-df1a98e2ace6","code":"tag-180","name":"Системы неравенств"},{"id":"cac715c7-756d-4aa2-91ef-8ac2fd2653b6","code":"tag-193","name":"Последовательности и прогрессии"},{"id":"ec133604-ce66-4c15-84f7-9262bb200a7a","code":"tag-227","name":"Задачи на прогрессии"},{"id":"f8f70776-3b01-443a-9a7a-93f65d491a5f","code":"tag-239","name":"Линейные уравнения и неравенства"}]}},{"problem_id":"a2b15141-6784-4fa5-b710-e9ec0fe50c4f","collection_id":"3a114fc8-4a7c-4f55-b6de-065b418499a8","display_order":2,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"a2b15141-6784-4fa5-b710-e9ec0fe50c4f","short_id":18228,"task_number":16,"topic_id":"5b8d9ee4-0cf0-48eb-8b48-2cf92d26a8d0","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"Решить неравенство\n\\[\\sqrt{\\dfrac{4x^7-10x^3}{4x-x^3-3}}\\leqslant x^3.\\]","answer_text":"\$x = 0,\\ \\sqrt[4]{5/2}\\leqslant x\\leqslant \\sqrt[3]{2}\$","answer":"\$x = 0,\\ \\sqrt[4]{5/2}\\leqslant x\\leqslant \\sqrt[3]{2}\$","solution_text":"$5c","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":2,"session":"03","variant_key":"mm2003-03","year":2003},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"5b8d9ee4-0cf0-48eb-8b48-2cf92d26a8d0","name":"Иррациональные неравенства","description":null},"tags":[{"id":"2c55495d-5b54-461b-8a9b-3567966b9d28","code":"tag-40","name":"Метод интервалов"},{"id":"326a65ae-efb0-4ca3-b01b-d170bc5caf10","code":"tag-46","name":"Иррациональные неравенства"},{"id":"3d83bcf4-0d09-4a5d-b894-e2c684238e58","code":"tag-58","name":"Неравенство содержащее радикал"},{"id":"a310e1e9-64c5-40c5-9928-aeb385bdeb13","code":"tag-149","name":"Рациональные неравенства"}]}},{"problem_id":"81d8a463-a391-4a1f-8054-e3340c5a4346","collection_id":"3a114fc8-4a7c-4f55-b6de-065b418499a8","display_order":3,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"81d8a463-a391-4a1f-8054-e3340c5a4346","short_id":18229,"task_number":18,"topic_id":"71373440-34a7-47b2-babf-51f2bddbce01","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"На продолжении биссектрисы \$AL\$ треугольника \$ABC\$ за точку \$A\$ взята такая точка \$D\$, что \$AD=10\$ и \$\\angle BDC=\\angle BAL=60^\\circ\$. Найти площадь треугольника \$ABC\$. Какова наименьшая площадь треугольника \$BDC\$ при данных условиях?","answer_text":"\$25\\sqrt{3};\\ 75\\sqrt{3}\$","answer":"\$25\\sqrt{3};\\ 75\\sqrt{3}\$","solution_text":"$5d","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":3,"session":"03","variant_key":"mm2003-03","year":2003},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"71373440-34a7-47b2-babf-51f2bddbce01","name":"Треугольники","description":null},"tags":[{"id":"36f3cc51-f003-4ed2-927d-039e1428bef9","code":"tag-49","name":"Наибольшее и наименьшее значения функции"},{"id":"3d67eb82-f5d0-40c6-936f-4730c9e5b2a7","code":"tag-57","name":"Основные тригонометрические тождества"},{"id":"7128c76c-3036-4af0-aacc-f06c948b2605","code":"tag-102","name":"Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора"},{"id":"a42676d8-721d-416b-9509-d365704bb645","code":"tag-151","name":"Треугольник"}]}},{"problem_id":"ff16b7ac-dc5f-49d4-a353-800e30aa6e47","collection_id":"3a114fc8-4a7c-4f55-b6de-065b418499a8","display_order":4,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"ff16b7ac-dc5f-49d4-a353-800e30aa6e47","short_id":18230,"task_number":90,"topic_id":"bb3cf4de-4a0d-4a98-9930-c8480fd19f59","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Найти площадь фигуры, заданной на координатной плоскости системой\n\\[\\begin{cases}\\bigl|y+\\log_2 x\\bigr|+\\bigl|y+1-2^{x-1}\\bigr|=\\bigl|2y-2^{x-1}+1+\\log_2 x\\bigr|,\\\\ |x|+|y+1|+|y-1|=x+2.\\end{cases}\\]","answer_text":"\$2\$","answer":"\$2\$","solution_text":"$5e","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":4,"session":"03","variant_key":"mm2003-03","year":2003},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"bb3cf4de-4a0d-4a98-9930-c8480fd19f59","name":"Графики и множества с модулями","description":null},"tags":[{"id":"0148c122-19f0-472b-b8c1-162241eb57d1","code":"tag-2","name":"Модуль числа"},{"id":"4b7dfc01-ef7d-43d7-baec-c5f58da87aa6","code":"tag-75","name":"Системы уравнений"},{"id":"7128c76c-3036-4af0-aacc-f06c948b2605","code":"tag-102","name":"Площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, сектора"},{"id":"cbfcdc3f-7c60-42fd-8b0c-b0e16a570b75","code":"tag-195","name":"Уравнение с модулем"}]}},{"problem_id":"b848b3dd-eeff-4774-b0cd-cb4c904705ec","collection_id":"3a114fc8-4a7c-4f55-b6de-065b418499a8","display_order":5,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"b848b3dd-eeff-4774-b0cd-cb4c904705ec","short_id":18231,"task_number":20,"topic_id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":7,"content_text":"Точка \$O\$ расположена в сечении \$AA'C'C\$ прямоугольного параллелепипеда \$ABCDA'B'C'D'\$ с размером \$2\\times 6\\times 9\$ так, что \$\\angle OAB+\\angle OAD+\\angle OAA'=180^\\circ\$. Сфера с центром в точке \$O\$ касается плоскостей \$A'B'C'\$, \$AA'B\$ и не имеет общих точек с плоскостью \$AA'D\$. Найти расстояние от точки \$O\$ до этой плоскости.","answer_text":"\$3\$","answer":"\$3\$","solution_text":"$5f","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":5,"session":"03","variant_key":"mm2003-03","year":2003},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"b37141ac-ec06-41ef-977b-401cb8faa903","name":"Сферы","description":null},"tags":[{"id":"70650cb8-97e2-45bf-84d4-ff24f2da3722","code":"tag-100","name":"Расстояние от точки до плоскости"},{"id":"b08fa4e2-4af6-40f5-ad34-408bf3068be7","code":"tag-165","name":"Шар"},{"id":"bd37f210-bf3b-4c96-9e7a-ce8103e56102","code":"tag-179","name":"Угол между прямыми в пространстве, угол между прямой и плоскостью"},{"id":"fc410a00-792e-42cc-97d3-9408df44ef53","code":"tag-241","name":"Прямоугольный параллелепипед"}]}},{"problem_id":"d6299b04-14ea-4613-ab31-5a2ca18a75b3","collection_id":"3a114fc8-4a7c-4f55-b6de-065b418499a8","display_order":6,"metadata":{},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","problem":{"id":"d6299b04-14ea-4613-ab31-5a2ca18a75b3","short_id":18232,"task_number":19,"topic_id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","exam_id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","difficulty":8,"content_text":"Найти все значения \$\\alpha\$, при каждом из которых расстояние между любыми двумя соседними корнями уравнения\n\\[\\cos\\alpha\\cos 3x-\\sin 3\\alpha\\cos x+2\\sin 2\\alpha\\cos 2x=3\\sin\\alpha-\\cos 3x\\]\nне превосходит \$\\dfrac{\\pi}{3}\$.","answer_text":"\$\\pi n,\\ n\\in\\mathbb{Z}\$","answer":"\$\\pi n,\\ n\\in\\mathbb{Z}\$","solution_text":"$60","explanation":null,"score":10,"part":"2","metadata":{"archive":true,"exam_era":"mehmat-entrance","ingest_batch":"mehmat-1993-2010-v1","position_in_variant":6,"session":"03","variant_key":"mm2003-03","year":2003},"created_at":"2026-06-13T13:25:55.23162Z","updated_at":"2026-08-31T18:36:47.303772Z","is_favorite":false,"is_solved":false,"is_reported":false,"topic":{"id":"7ee08b18-18e8-42f5-8ad4-c094688c771d","name":"Задачи с параметрами","description":null},"tags":[{"id":"63383330-9060-4445-8f93-c53c52a03571","code":"tag-89","name":"Уравнения с параметром"},{"id":"79cb1123-1ddd-42a3-b424-5fcae957f034","code":"tag-114","name":"Функции, зависящие от параметра"},{"id":"9564a83d-ccf3-4211-91ed-f6f568873b0e","code":"tag-131","name":"Тригонометрические уравнения"},{"id":"b44bdba8-2ba0-4cd7-a541-f58966163e08","code":"tag-170","name":"Преобразования тригонометрических выражений"}]}}],"total":6},"serverExams":[{"id":"a217734d-d4f5-4d66-ba1a-5248bb381f09","code":"dvi-math","name":"ДВИ МГУ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"1aed6121-06cc-4a5a-87f5-77de484ebb36","program_code":"dvi","exam_type":"ДВИ","description":"Дополнительное вступительное испытание МГУ им. М.В. Ломоносова по математике. С 2026 года экзамен состоит из двух частей: лёгкий тест с кратким ответом и традиционная письменная часть с полным решением.","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-07-11","metadata":{"duration_minutes":180,"max_secondary_score":100,"mock_exam_enabled":true,"part2_tasks":6,"parts":[{"answer_format":"detailed","part":1,"scale":"linear","slots_in_variant":10,"tasks":[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13],"weight":30},{"answer_format":"detailed","part":2,"scale":"score_conversion","slots_in_variant":6,"tasks":[14,15,16,17,18,19,20],"weight":70}],"score_conversion":[2,30,30,35,35,35,35,35,40,40,40,40,40,45,45,45,45,45,50,50,50,50,50,55,55,55,55,55,60,60,60,60,60,65,65,65,65,65,70,70,70,70,70,75,75,75,75,75,80,80,80,80,80,85,85,85,85,85,90,90,90,90,90,95,95,95,95,95,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":10,"15":10,"16":10,"17":10,"18":10,"19":10,"20":10},"structure_2026":{"consultation_video_url":"https://disk.360.yandex.ru/d/NbP139HUZpCPDA","exam_2026":{"exam_date":"2026-07-11","note":"Реальный основной день; в образце Ш12622 тест был из 15 задач.","test_task_count":10,"written_task_count":6},"exam_portal":"https://exam.msu.ru/","official_exam_page":"https://cpk.msu.ru/exam/101","parts":["base","written"],"test_task_count":15},"task_count":7,"task_numbering":"part_relative","year":2026},"created_at":"2026-06-10T20:49:34.08312Z","updated_at":"2026-09-01T00:33:23.788959Z","problem_count":1008,"theory_count":36,"system_collection_count":190},{"id":"3a8471c5-2a11-4932-ba3e-7ab7d1ae7a1d","code":"ege-base","name":"Математика (база) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_base","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Базовый ЕГЭ по математике для получения аттестата","has_part2":false,"max_task_number":21,"exam_date":"2026-06-04","metadata":{"duration_minutes":180,"max_score":21,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":21,"part2_tasks":0,"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":1,"21":1},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","problem_count":8561,"theory_count":85,"system_collection_count":111},{"id":"23f00ba7-bd19-4ca8-9349-5134d88397cf","code":"ege-prof","name":"Математика (профиль) ЕГЭ","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","old_code":"math_prof","program_id":"175d2aa1-bdcb-4df2-9710-7a61057ddd66","program_code":"ege","exam_type":"ЕГЭ","description":"Профильный ЕГЭ по математике для поступающих в технические вузы","has_part2":true,"max_task_number":20,"exam_date":"2026-06-08","metadata":{"duration_minutes":235,"max_score":33,"max_secondary_score":100,"max_task_number":20,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":13,"part2_tasks":7,"score_conversion":[0,6,11,17,22,27,34,40,46,52,58,64,70,72,74,76,78,80,82,84,86,88,90,92,94,95,96,97,98,99,100,100,100,100],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":2,"15":3,"16":2,"17":2,"18":3,"19":4,"20":4},"year":2026},"created_at":"2025-11-09T12:48:12.440483Z","updated_at":"2026-08-30T23:51:20.728833Z","problem_count":2491,"theory_count":123,"system_collection_count":255},{"id":"b0db9506-ddcf-4200-8815-7a709ea0dc4e","code":"oge-math","name":"ОГЭ (математика)","subject_id":"d1be5154-7be0-4c8c-92d3-c486ea0a1a57","subject_name":"Математика","subject_code":"math","program_id":"ff8f63b8-bfcc-47f3-9d55-bc666ee30237","program_code":"oge","exam_type":"ОГЭ","description":"Основной государственный экзамен по математике (9 класс): 25 заданий, 235 минут. Часть 1 — задания 1-19 с кратким ответом (1 балл), часть 2 — задания 20-25 с развёрнутым ответом (2 балла). Максимум 31 первичный балл, итоговая отметка 2-5.","has_part2":true,"max_task_number":25,"metadata":{"duration_minutes":235,"geometry_min_points":2,"geometry_min_points_note":"Для отметки выше 2 необходимо >=2 первичных баллов за геометрию (задания 15-19, 23-25); кодируется в скоринге пробника через geometry_tasks + geometry_min_points (0423)","geometry_tasks":[15,16,17,18,19,23,24,25],"hidden":false,"max_secondary_score":5,"mock_exam_enabled":true,"part1_tasks":19,"part2_tasks":[20,21,22,23,24,25],"score_conversion":[2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5],"scoring_table":{"1":1,"2":1,"3":1,"4":1,"5":1,"6":1,"7":1,"8":1,"9":1,"10":1,"11":1,"12":1,"13":1,"14":1,"15":1,"16":1,"17":1,"18":1,"19":1,"20":2,"21":2,"22":2,"23":2,"24":2,"25":2},"task_count":25,"year":2026},"created_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","updated_at":"2026-07-18T14:59:37.743898Z","problem_count":2181,"theory_count":104,"system_collection_count":89}]}]]

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ

Условие

Решение

Ответ