Найти первый член целочисленной арифметической прогрессии, у которой сумма первых шести членов отличается от суммы следующих шести членов менее чем на 450, а сумма первых пяти членов превышает более чем на 5 сумму любого другого набора различных членов этой прогрессии.
Обозначим первый член прогрессии через a, а разность через d. Так как прогрессия целочисленная, a и d — целые числа, и k-й член равен ak=a+(k−1)d.
Первое условие. Сумма первых шести членов равна
S1-6=k=1∑6(a+(k−1)d)=6a+(0+1+2+3+4+5)d=6a+15d,а сумма следующих шести членов (с седьмого по двенадцатый) равна
S7-12=k=7∑12(a+(k−1)d)=6a+(6+7+8+9+10+11)d=6a+51d.Их разность равна
S1-6−S7-12=(6a+15d)−(6a+51d)=−36d,поэтому первое условие принимает вид
−36d<450⟺∣d∣<36450=225=12,5.Так как d целое, отсюда ∣d∣⩽12.
Второе условие (ключевое). Требуется, чтобы сумма первых пяти членов
S5=a1+a2+a3+a4+a5более чем на 5 превышала сумму любого другого набора различных членов прогрессии. Под «набором» понимается любой конечный поднабор членов; среди всех таких наборов сумма максимальна тогда, когда в него взяты ровно те члены, которые положительны (добавление неположительного члена не увеличивает сумму, а отбрасывание положительного — уменьшает). Значит, чтобы среди всех наборов наибольшую сумму давал именно набор первых пяти членов, необходимо, чтобы множество положительных членов прогрессии совпадало с {a1,…,a5}.
Прежде всего у прогрессии вообще должен существовать набор с наибольшей суммой: при d⩾0 члены не убывают и (при d>0) неограниченно растут, так что суммы наборов не ограничены сверху и наибольшего набора нет; при d=0 все члены равны и выделить ровно первые пять как единственные положительные невозможно. Поэтому d<0: прогрессия строго убывает. Тогда условие «положительны ровно первые пять членов» означает
a5=a+4d>0,a6=a+5d⩽0.Найдём ближайших по сумме «конкурентов» набора {a1,…,a5}. Любой другой набор получается из него либо отбрасыванием включённых членов, либо добавлением отброшенных. Поскольку отбрасывают положительные, а добавляют неположительные члены, наибольшую из конкурирующих сумм даёт одно из двух минимальных изменений:
убрать наименьший включённый член a5:S5−a5, добавить наибольший отброшенный член a6:S5+a6=S5−∣a6∣.Любое иное изменение уменьшает сумму ещё сильнее. Поэтому условие «S5 превышает любой другой набор более чем на 5» равносильно одновременному выполнению
S5−(S5−a5)=a5>5иS5−(S5−∣a6∣)=∣a6∣>5.(В частности, отсюда a6=0: при a6=0 набор {a1,…,a5,a6} имел бы ту же сумму, и превышение было бы нулевым.) Итак,
a+4d>5,a+5d<−5.Совмещение условий. Вычтем второе неравенство из первого:
(a+4d)−(a+5d)>5−(−5) ⟹ −d>10 ⟹ d<−10,то есть d⩽−11. Вместе с ∣d∣⩽12 и d<0 остаётся d∈{−11,−12}.
Так как a, d целые, неравенства можно записать в целочисленном виде:
a+4d⩾6,a+5d⩽−6,то есть
a⩾6−4d,a⩽−6−5d.Совместность требует 6−4d⩽−6−5d, откуда d⩽−12. С учётом ∣d∣⩽12 получаем единственное значение d=−12, и тогда
6−4d=6+48=54,−6−5d=−6+60=54,так что a=54 определяется однозначно.
Проверка. При a=54, d=−12 первые двенадцать членов таковы:
54, 42, 30, 18, 6, −6, −18, −30, −42, −54, −66, −78.Первое условие: S1-6−S7-12=−36⋅(−12)=432, и ∣432∣<450. Второе условие: положительны ровно a1,…,a5, их сумма S5=54+42+30+18+6=150 — наибольшая среди сумм всех наборов. Ближайшие конкуренты дают сумму 150−a5=150−6=144 и 150−∣a6∣=150−6=144; в обоих случаях 150−144=6>5, а все прочие наборы дают сумму ещё меньшую. Оба условия выполнены.
Таким образом, первый член прогрессии равен 54.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
Мехмат МГУ (архив)