Найти первый член целочисленной арифметической прогрессии, у которой сумма первых шести членов отличается от суммы следующих шести членов менее чем на 450, а сумма первых пяти членов превышает более чем на 5 сумму любого другого набора различных членов этой прогрессии.

Обозначим первый член прогрессии через a, а разность через d. Так как прогрессия целочисленная, a и d — целые числа, и k-й член равен a_k=a+(k-1)d. **Первое условие.** Сумма первых шести членов равна S_(1-6)=_(k=1)^(6)(a+(k-1)d)=6a+(0+1+2+3+4+5)d=6a+15d, а сумма следующих шести членов (с седьмого по двенадцатый) равна S_(7-12)=_(k=7)^(12)(a+(k-1)d)=6a+(6+7+8+9+10+11)d=6a+51d. Их разность равна S_(1-6)-S_(7-12)=(6a+15d)-(6a+51d)=-36d, поэтому первое условие принимает вид |-36d|<450 |d|<(450)/(36)=(25)/(2)=12,5. Так как d целое, отсюда |d| 12. **Второе условие** (ключевое). Требуется, чтобы сумма первых пяти членов S_5=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5 более чем на 5 превышала сумму любого другого набора различных членов прогрессии. Под «набором» понимается любой конечный поднабор членов; среди всех таких наборов сумма максимальна тогда, когда в него взяты ровно те члены, которые положительны (добавление неположительного члена не увеличивает сумму, а отбрасывание положительного — уменьшает). Значит, чтобы среди всех наборов наибольшую сумму давал именно набор первых пяти членов, необходимо, чтобы множество положительных членов прогрессии совпадало с a_1,,a_5. Прежде всего у прогрессии вообще должен существовать набор с наибольшей суммой: при d 0 члены не убывают и (при d>0) неограниченно растут, так что суммы наборов не ограничены сверху и наибольшего набора нет; при d=0 все члены равны и выделить ровно первые пять как единственные положительные невозможно. Поэтому d<0: прогрессия строго убывает. Тогда условие «положительны ровно первые пять членов» означает a_5=a+4d>0, a_6=a+5d 0. Найдём ближайших по сумме «конкурентов» набора a_1,,a_5. Любой другой набор получается из него либо отбрасыванием включённых членов, либо добавлением отброшенных. Поскольку отбрасывают положительные, а добавляют неположительные члены, наибольшую из конкурирующих сумм даёт одно из двух минимальных изменений: убрать наименьший включённый член a_5: S_5-a_5, добавить наибольший отброшенный член a_6: S_5+a_6=S_5-|a_6|. Любое иное изменение уменьшает сумму ещё сильнее. Поэтому условие «S_5 превышает любой другой набор более чем на 5» равносильно одновременному выполнению S_5-(S_5-a_5)=a_5>5 и S_5-(S_5-|a_6|)=|a_6|>5. (В частности, отсюда a_6!= 0: при a_6=0 набор a_1,,a_5,a_6 имел бы ту же сумму, и превышение было бы нулевым.) Итак, a+4d>5, a+5d<-5. **Совмещение условий.** Вычтем второе неравенство из первого: (a+4d)-(a+5d)>5-(-5) -d>10 d<-10, то есть d -11. Вместе с |d| 12 и d<0 остаётся din-11,-12. Так как a, d целые, неравенства можно записать в целочисленном виде: a+4d 6, a+5d -6, то есть a 6-4d, a -6-5d. Совместность требует 6-4d -6-5d, откуда d -12. С учётом |d| 12 получаем единственное значение d=-12, и тогда 6-4d=6+48=54, -6-5d=-6+60=54, так что a=54 определяется однозначно. **Проверка.** При a=54, d=-12 первые двенадцать членов таковы: 54, 42, 30, 18, 6, -6, -18, -30, -42, -54, -66, -78. Первое условие: S_(1-6)-S_(7-12)=-36*(-12)=432, и |432|<450. Второе условие: положительны ровно a_1,,a_5, их сумма S_5=54+42+30+18+6=150 — наибольшая среди сумм всех наборов. Ближайшие конкуренты дают сумму 150-a_5=150-6=144 и 150-|a_6|=150-6=144; в обоих случаях 150-144=6>5, а все прочие наборы дают сумму ещё меньшую. Оба условия выполнены. Таким образом, первый член прогрессии равен 54.

\(54\)