Решить неравенство sqrt((4x^7-10x^3)/(4x-x^3-3)) x^3.

Требуется решить неравенство sqrt((4x^7-10x^3)/(4x-x^3-3)) x^3. **Предварительные преобразования.** Разложим на множители числитель и знаменатель подкоренной дроби: 4x^7-10x^3=2x^3(2x^4-5), 4x-x^3-3=-(x^3-4x+3)=-(x-1)(x^2+x-3). Таким образом, подкоренное выражение есть R(x)=(2x^3(2x^4-5))/(-(x-1)(x^2+x-3)). **Необходимое условие на знак правой части.** Левая часть неравенства есть арифметический корень, то есть sqrt(R(x)) 0. Чтобы неотрицательная величина не превосходила x^3, необходимо x^3 0, то есть x 0. При x<0 правая часть x^3<0, а левая неотрицательна, поэтому неравенство невозможно. Значит, далее рассматриваем только x 0. **Случай x=0.** Тогда R(0)=(0)/(-3)=0, левая часть равна sqrt(0)=0, правая равна 0^3=0, и неравенство 0 0 выполнено. Значит, x=0 — решение. **Случай x>0.** Здесь x^3>0 и обе части неотрицательны (с учётом области определения, в которой R(x) 0). Для неотрицательных чисел неравенство sqrt(R(x)) x^3 равносильно системе casesR(x) 0 (область определения),(x) x^6 (возведение в квадрат).cases (Условие R(x) 0 уже обеспечивает определённость корня, а x^3>0, так что возведение в квадрат равносильно.) Преобразуем второе неравенство. Перенося всё в одну часть и приводя к общему знаменателю, получаем x^6-R(x)=x^6-(2x^3(2x^4-5))/(-(x-1)(x^2+x-3))=(x^6*(-(x-1)(x^2+x-3))-2x^3(2x^4-5))/(-(x-1)(x^2+x-3)). Числитель этой дроби раскрывается и раскладывается так: x^6(4x-x^3-3)-2x^3(2x^4-5)=-x^3(x^3-2)(x^3+5). Следовательно, x^6-R(x)=(-x^3(x^3-2)(x^3+5))/(-(x-1)(x^2+x-3))=(x^3(x^3-2)(x^3+5))/((x-1)(x^2+x-3)). Итак, при x>0 исходное неравенство равносильно системе cases(2x^3(2x^4-5))/(-(x-1)(x^2+x-3)) 0,(x^3(x^3-2)(x^3+5))/((x-1)(x^2+x-3)) 0.cases **Анализ знаков при x>0.** На положительной полуоси x^3>0 и x^3+5>0, поэтому эти множители на знак не влияют. Положительные корни остальных множителей расположены так: 1<[4]5/2<[3]2<(sqrt(13)-1)/(2), поскольку 2x^4-5=0 при x=[4]5/2~1,2574; x^3-2=0 при x=[3]2~1,2599; x-1=0 при x=1; а x^2+x-3=0 при x=(-1+sqrt(13))/(2)~1,3028 (отрицательный корень нас не интересует). Знаменатель (x-1)(x^2+x-3) для x>0 обращается в нуль в точках x=1 и x=(-1+sqrt(13))/(2), которые исключаются из области определения. Разберём промежутки. | Промежуток (x>0) | знак 2x^4-5 | знак (x-1)(x^2+x-3) | ОДЗ: R(x) 0 | знак (x^3-2) | x^6-R(x) 0 | |---|---|---|---|---|---| | 0<x<1 | - | + (оба отриц.) | нет (R<0) | — | — | | 1<x<[4]5/2 | - | - | да (R>0) | - | нет | | [4]5/2<x<[3]2 | + | - | да (R>0) | - | да | | [3]2<x<(sqrt(13)-1)/(2) | + | - | да (R>0) | + | нет | | x>(sqrt(13)-1)/(2) | + | + | нет (R<0) | + | — | Поясним ключевую строку. На (0;1) знаменатель (x-1)(x^2+x-3) положителен (оба множителя отрицательны), а 2x^4-5<0, значит R(x)<0 — область определения не выполнена. На промежутке ([4]5/2;[3]2) имеем 2x^4-5>0 и (x-1)(x^2+x-3)<0, поэтому R(x)>0 (ОДЗ выполнено); одновременно (x^3-2)<0, а знаменатель (x-1)(x^2+x-3)<0, и в выражении (x^3(x^3-2)(x^3+5))/((x-1)(x^2+x-3)) числитель отрицателен, знаменатель отрицателен — дробь положительна, то есть x^6-R(x) 0. Здесь оба условия системы выполнены. На остальных промежутках, как видно из таблицы, хотя бы одно из двух условий нарушается, поэтому решений среди x>0 там нет. **Граничные точки.** Точку x=[4]5/2 включаем: там 2x^4-5=0, значит R(x)=0, левая часть равна 0, а правая x^3>0, и неравенство 0 x^3 выполнено. Точку x=[3]2 тоже включаем: там x^3-2=0, то есть x^6-R(x)=0, а значит R(x)=x^6 и sqrt(R(x))=x^3 — достигается равенство. Точки x=1 и x=(-1+sqrt(13))/(2) исключены как нули знаменателя. **Итог.** Решениями являются изолированная точка x=0 и отрезок [[4]5/2;[3]2]: x=0 и [4]5/2 x[3]2.

\(x = 0,\ \sqrt[4]{5/2}\leqslant x\leqslant \sqrt[3]{2}\)