Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
Мехмат МГУ (архив)
Решить неравенство
4x−x3−34x7−10x3⩽x3.Требуется решить неравенство
4x−x3−34x7−10x3⩽x3.Предварительные преобразования. Разложим на множители числитель и знаменатель подкоренной дроби:
4x7−10x3=2x3(2x4−5),4x−x3−3=−(x3−4x+3)=−(x−1)(x2+x−3).Таким образом, подкоренное выражение есть
R(x)=−(x−1)(x2+x−3)2x3(2x4−5).Необходимое условие на знак правой части. Левая часть неравенства есть арифметический корень, то есть R(x)⩾0. Чтобы неотрицательная величина не превосходила x3, необходимо x3⩾0, то есть x⩾0. При x<0 правая часть x3<0, а левая неотрицательна, поэтому неравенство невозможно. Значит, далее рассматриваем только x⩾0.
Случай x=0. Тогда R(0)=−30=0, левая часть равна 0=0, правая равна 03=0, и неравенство 0⩽0 выполнено. Значит, x=0 — решение.
Случай x>0. Здесь x3>0 и обе части неотрицательны (с учётом области определения, в которой R(x)⩾0). Для неотрицательных чисел неравенство R(x)⩽x3 равносильно системе
{R(x)⩾0(область определения),R(x)⩽x6(возведение в квадрат).(Условие R(x)⩾0 уже обеспечивает определённость корня, а x3>0, так что возведение в квадрат равносильно.)
Преобразуем второе неравенство. Перенося всё в одну часть и приводя к общему знаменателю, получаем
x6−R(x)=x6−−(x−1)(x2+x−3)2x3(2x4−5)=−(x−1)(x2+x−3)x6⋅(−(x−1)(x2+x−3))−2x3(2x4−5).Числитель этой дроби раскрывается и раскладывается так:
x6(4x−x3−3)−2x3(2x4−5)=−x3(x3−2)(x3+5).Следовательно,
x6−R(x)=−(x−1)(x2+x−3)−x3(x3−2)(x3+5)=(x−1)(x2+x−3)x3(x3−2)(x3+5).Итак, при x>0 исходное неравенство равносильно системе
⎩⎨⎧−(x−1)(x2+x−3)2x3(2x4−5)⩾0,(x−1)(x2+x−3)x3(x3−2)(x3+5)⩾0.Анализ знаков при x>0. На положительной полуоси x3>0 и x3+5>0, поэтому эти множители на знак не влияют. Положительные корни остальных множителей расположены так:
1<45/2<32<213−1,поскольку 2x4−5=0 при x=45/2≈1,2574; x3−2=0 при x=32≈1,2599; x−1=0 при x=1; а x2+x−3=0 при x=2−1+13≈1,3028 (отрицательный корень нас не интересует). Знаменатель (x−1)(x2+x−3) для x>0 обращается в нуль в точках x=1 и x=2−1+13, которые исключаются из области определения.
Разберём промежутки.
| Промежуток (x>0) | знак 2x4−5 | знак (x−1)(x2+x−3) | ОДЗ: R(x)⩾0 | знак (x3−2) | x6−R(x)⩾0 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0<x<1 | − | + (оба отриц.) | нет (R<0) | — | — |
| 1<x<45/2 | − | − | да (R>0) | − | нет |
| 45/2<x<32 | + | − | да (R>0) | − | да |
| 32<x<213−1 | + | − | да (R>0) | + | нет |
| x>213−1 | + | + | нет (R<0) | + | — |
Поясним ключевую строку. На (0;1) знаменатель (x−1)(x2+x−3) положителен (оба множителя отрицательны), а 2x4−5<0, значит R(x)<0 — область определения не выполнена. На промежутке (45/2;32) имеем 2x4−5>0 и (x−1)(x2+x−3)<0, поэтому R(x)>0 (ОДЗ выполнено); одновременно (x3−2)<0, а знаменатель (x−1)(x2+x−3)<0, и в выражении (x−1)(x2+x−3)x3(x3−2)(x3+5) числитель отрицателен, знаменатель отрицателен — дробь положительна, то есть x6−R(x)⩾0. Здесь оба условия системы выполнены.
На остальных промежутках, как видно из таблицы, хотя бы одно из двух условий нарушается, поэтому решений среди x>0 там нет.
Граничные точки. Точку x=45/2 включаем: там 2x4−5=0, значит R(x)=0, левая часть равна 0, а правая x3>0, и неравенство 0⩽x3 выполнено. Точку x=32 тоже включаем: там x3−2=0, то есть x6−R(x)=0, а значит R(x)=x6 и R(x)=x3 — достигается равенство. Точки x=1 и x=2−1+13 исключены как нули знаменателя.
Итог. Решениями являются изолированная точка x=0 и отрезок [45/2;32]:
x=0и45/2⩽x⩽32.