На продолжении биссектрисы AL треугольника ABC за точку A взята такая точка D, что AD=10 и BDC= BAL=60^. Найти площадь треугольника ABC. Какова наименьшая площадь треугольника BDC при данных условиях?

Обозначим AB=c, AC=b. Так как AL — биссектриса угла A, а BAL=60^, то весь угол при вершине A равен BAC=2 BAL=120^. **Площадь треугольника ABC.** Поместим точку A в начало координат, а биссектрису AL направим вдоль положительной оси x (внутрь треугольника). Тогда лучи AB и AC идут под углами +60^ и -60^ к оси x, то есть B=((c)/(2), (c3)/(2)), C=((b)/(2), -(b3)/(2)). Точка D лежит на продолжении биссектрисы за точку A, значит на отрицательной полуоси x; из AD=10 получаем D=(-10, 0). Найдём угол BDC. Векторы DB=((c)/(2)+10, (c3)/(2)), DC=((b)/(2)+10, -(b3)/(2)). Их скалярное произведение и (модуль) векторного произведения дают tan( BDC)=(|DB*DC|)/(DB*DC)=(3(b(c+20)+c(b+20)))/((b+20)(c+20)-3bc). Условие BDC=60^ означает tan( BDC)=3, что после упрощения равносильно уравнению b(c+20)+c(b+20)=(b+20)(c+20)-3bc, 2bc+20b+20c=bc+20b+20c+400-3bc 4bc=bc+400 bc=100. Итак, условие BDC=60^ однозначно фиксирует **произведение** сторон: AB* AC=bc=100. Тогда площадь треугольника ABC (угол между сторонами b и c равен 120^) равна S_(ABC)=12bcsin 120^=12* 100*(3)/(2)=253. Эта величина не зависит от формы треугольника — она одна и та же для всех допустимых конфигураций. **Наименьшая площадь треугольника BDC.** Площадь треугольника BDC удобно выразить через стороны DB и DC и угол BDC=60^: S_(BDC)=12DB* DCsin 60^. Вычислим длины из координат (с учётом b=(100)/(c)): DB=sqrt(((c)/(2)+10)^2+(3c^2)/(4))=sqrt(c^2+10c+100), DC=sqrt(((b)/(2)+10)^2+(3b^2)/(4))=sqrt(b^2+10b+100). Прямое вычисление ориентированной площади (вершина B выше оси, C — ниже) даёт компактное выражение S_(BDC)=(53(c^2+10c+100))/(2c)=(53)/(2)(c+10+(100)/(c)). Минимизируем c+(100)/(c) при c>0. По неравенству о среднем арифметическом и геометрическом c+(100)/(c) 2sqrt(c*(100)/(c))=2sqrt(100)=20, причём равенство достигается при c=(100)/(c), то есть c=10 (тогда и b=(100)/(c)=10, значит AB=AC=10 — треугольник ABC равнобедренный). Поэтому c+10+(100)/(c) 30, S_(BDC) (53)/(2)* 30=753. Минимум достигается при c=b=10; в этом случае DB=DC=sqrt(300)=103 и BC=sqrt(b^2+c^2+bc)=sqrt(300)=103, то есть треугольник BDC оказывается равносторонним. Наименьшая площадь треугольника BDC равна 753. **Ответ:** площадь треугольника ABC равна 253; наименьшая площадь треугольника BDC равна 753.

\(25\sqrt{3};\ 75\sqrt{3}\)