Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
Мехмат МГУ (архив)
На продолжении биссектрисы AL треугольника ABC за точку A взята такая точка D, что AD=10 и ∠BDC=∠BAL=60∘. Найти площадь треугольника ABC. Какова наименьшая площадь треугольника BDC при данных условиях?
Обозначим AB=c, AC=b. Так как AL — биссектриса угла A, а ∠BAL=60∘, то весь угол при вершине A равен
∠BAC=2∠BAL=120∘.Площадь треугольника ABC.
Поместим точку A в начало координат, а биссектрису AL направим вдоль положительной оси x (внутрь треугольника). Тогда лучи AB и AC идут под углами +60∘ и −60∘ к оси x, то есть
B=(2c, 2c3),C=(2b, −2b3).Точка D лежит на продолжении биссектрисы за точку A, значит на отрицательной полуоси x; из AD=10 получаем
D=(−10, 0).Найдём угол BDC. Векторы
DB=(2c+10, 2c3),DC=(2b+10, −2b3).Их скалярное произведение и (модуль) векторного произведения дают
tan(∠BDC)=DB⋅DCDB×DC=(b+20)(c+20)−3bc3(b(c+20)+c(b+20)).Условие ∠BDC=60∘ означает tan(∠BDC)=3, что после упрощения равносильно уравнению
b(c+20)+c(b+20)=(b+20)(c+20)−3bc, 2bc+20b+20c=bc+20b+20c+400−3bc ⟺ 4bc=bc+400 ⟺ bc=100.Итак, условие ∠BDC=60∘ однозначно фиксирует произведение сторон: AB⋅AC=bc=100. Тогда площадь треугольника ABC (угол между сторонами b и c равен 120∘) равна
SABC=21bcsin120∘=21⋅100⋅23=253.Эта величина не зависит от формы треугольника — она одна и та же для всех допустимых конфигураций.
Наименьшая площадь треугольника BDC.
Площадь треугольника BDC удобно выразить через стороны DB и DC и угол ∠BDC=60∘:
SBDC=21DB⋅DCsin60∘.Вычислим длины из координат (с учётом b=c100):
DB=(2c+10)2+43c2=c2+10c+100, DC=(2b+10)2+43b2=b2+10b+100.Прямое вычисление ориентированной площади (вершина B выше оси, C — ниже) даёт компактное выражение
SBDC=2c53(c2+10c+100)=253(c+10+c100).Минимизируем c+c100 при c>0. По неравенству о среднем арифметическом и геометрическом
c+c100⩾2c⋅c100=2100=20,причём равенство достигается при c=c100, то есть c=10 (тогда и b=c100=10, значит AB=AC=10 — треугольник ABC равнобедренный). Поэтому
c+10+c100⩾30,SBDC⩾253⋅30=753.Минимум достигается при c=b=10; в этом случае DB=DC=300=103 и BC=b2+c2+bc=300=103, то есть треугольник BDC оказывается равносторонним. Наименьшая площадь треугольника BDC равна
753.Ответ: площадь треугольника ABC равна 253; наименьшая площадь треугольника BDC равна 753.