Задача №18231

Точка $O$ расположена в сечении $A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C$ прямоугольного параллелепипеда $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ с размером $2\times 6\times 9$ так, что $\angle OAB+\angle OAD+\angle OA{A}^{\prime }=180^{\circ }\text{.}$ Сфера с центром в точке $O$ касается плоскостей $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\text{,}$ $A{A}^{\prime }B$ и не имеет общих точек с плоскостью $A{A}^{\prime }D\text{.}$ Найти расстояние от точки $O$ до этой плоскости.

Введём систему координат с началом в вершине $A\text{,}$ направив оси по рёбрам, выходящим из $A\text{:}$ ось $x$ вдоль $AB\text{,}$ ось $y$ вдоль $AD\text{,}$ ось $z$ вдоль $A{A}^{\prime }\text{.}$ Обозначим длины рёбер $AB=a\text{,}$ $AD=b\text{,}$ $A{A}^{\prime }=c\text{;}$ это числа из набора $\{2,6,9\}\text{,}$ а какое именно ребро какую длину имеет, определится из условий задачи.

Тогда

Выпишем нужные плоскости. Плоскость $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ — это верхняя грань $z=c\text{.}$ Плоскость $A{A}^{\prime }B$ проходит через точки с $y=0\text{,}$ то есть это грань $y=0\text{.}$ Плоскость $A{A}^{\prime }D$ проходит через точки с $x=0\text{,}$ то есть грань $x=0\text{.}$

Сечение и положение точки $O\text{.}$ Сечение $A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C$ натянуто на векторы $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(0,0,c)$ и $\overrightarrow{AC}=(a,b,0)\text{;}$ его плоскость задаётся уравнением $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}\text{.}$ Значит, любая точка сечения имеет вид

Условие на сумму углов. Углы $\angle OAB,\angle OAD,\angle OA{A}^{\prime }$ — это углы между вектором $\overrightarrow{AO}=(x_0,y_0,z_0)$ и осями. Обозначив $r=|\overrightarrow{AO}|$ и направляющие косинусы $p=\frac{x_0}{r},q=\frac{y_0}{r},s=\frac{z_0}{r}$ (так что $p^2+q^2+s^2=1$), имеем

Условие $\arccos p+\arccos q+\arccos s=\pi$ перепишем как $\arccos p+\arccos q=\pi -\arccos s=\arccos (-s)\text{.}$ Беря косинус обеих частей,

Возводя в квадрат и используя $s^2=1-p^2-q^2\text{,}$ получаем

Так как для точки сечения $x_0=at,y_0=bt$ обращаются в нуль одновременно (при $t=0$ точка попала бы на ребро $A{A}^{\prime }\text{,}$ и тогда $\overrightarrow{AO}$ направлен по $z\text{,}$ а радиус касания к грани $y=0$ был бы нулевым — вырождение), остаётся единственная содержательная возможность $s=0\text{,}$ то есть

Геометрически это означает, что $O$ лежит в плоскости основания $z=0\text{,}$ на диагонали $AC\text{:}$ $O=(at,bt,0)\text{.}$ Проверка: при $z_0=0$ имеем $\angle OA{A}^{\prime }=90^{\circ }\text{,}$ а $\angle OAB+\angle OAD=\arccos p+\arccos q=90^{\circ }$ автоматически (поскольку $p^2+q^2=1$), так что сумма равна $180^{\circ }\text{.}$ Условие выполнено для любой такой точки.

Условия на сферу. Пусть радиус сферы равен $R\text{.}$ Так как $z_0=0\text{:}$

• расстояние от $O$ до плоскости $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }(z=c)$ равно $c\text{;}$ касание даёт $R=c\text{;}$
• расстояние от $O$ до плоскости $A{A}^{\prime }B(y=0)$ равно $y_0=bt\text{;}$ касание даёт $R=bt\text{;}$
• расстояние от $O$ до плоскости $A{A}^{\prime }D(x=0)$ равно $x_0=at\text{;}$ отсутствие общих точек со сферой требует $at>R\text{.}$

Из равенства радиусов касания $bt=c$ находим $t=\frac{c}{b}\text{,}$ откуда искомое расстояние

Условие «$O$ внутри сечения» даёт $t=\frac{c}{b}\le 1\text{,}$ а условие «нет общих точек с $A{A}^{\prime }D$» даёт $at>c\text{,}$ то есть $\frac{a}{b}>1\text{,}$ значит $a>b\text{.}$

Определение размеров. Перебираем все назначения чисел $\{2,6,9\}$ рёбрам $(a,b,c)=(AB,AD,A{A}^{\prime })$ и оставляем те, где одновременно $t=\frac{c}{b}\le 1$ и $\frac{ac}{b}>c\text{:}$

Всем условиям удовлетворяет единственное назначение: $AB=9,AD=6,A{A}^{\prime }=2\text{.}$ При нём

Проверим всё прямо: расстояние до $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }(z=2)$ равно $2=R$ (касание); расстояние до $A{A}^{\prime }B(y=0)$ равно $2=R$ (касание); расстояние до $A{A}^{\prime }D(x=0)$ равно $3>2=R$ (общих точек нет). Сумма углов: $\arccos \frac{3}{\sqrt{13}}+\arccos \frac{2}{\sqrt{13}}+90^{\circ }=33,69^{\circ }+56,31^{\circ }+90^{\circ }=180^{\circ }\text{.}$

Ответ. Расстояние от точки $O$ до плоскости $A{A}^{\prime }D$ равно $\boxed{3}\text{.}$