Точка O расположена в сечении AA'C'C прямоугольного параллелепипеда ABCDA'B'C'D' с размером 2* 6* 9 так, что OAB+ OAD+ OAA'=180^. Сфера с центром в точке O касается плоскостей A'B'C', AA'B и не имеет общих точек с плоскостью AA'D. Найти расстояние от точки O до этой плоскости.

Введём систему координат с началом в вершине A, направив оси по рёбрам, выходящим из A: ось x вдоль AB, ось y вдоль AD, ось z вдоль AA'. Обозначим длины рёбер AB=a, AD=b, AA'=c; это числа из набора 2,6,9, а какое именно ребро какую длину имеет, определится из условий задачи. Тогда A=(0,0,0), B=(a,0,0), D=(0,b,0), A'=(0,0,c), C=(a,b,0), C'=(a,b,c). Выпишем нужные плоскости. Плоскость A'B'C' — это верхняя грань z=c. Плоскость AA'B проходит через точки с y=0, то есть это грань y=0. Плоскость AA'D проходит через точки с x=0, то есть грань x=0. **Сечение и положение точки O.** Сечение AA'C'C натянуто на векторы AA'=(0,0,c) и AC=(a,b,0); его плоскость задаётся уравнением (x)/(a)=(y)/(b). Значит, любая точка сечения имеет вид O=(at,bt,z), t>= 0, zin[0,c]. **Условие на сумму углов.** Углы OAB, OAD, OAA' — это углы между вектором AO=(x_0,y_0,z_0) и осями. Обозначив r=|AO| и направляющие косинусы p=(x_0)/(r), q=(y_0)/(r), s=(z_0)/(r) (так что p^2+q^2+s^2=1), имеем OAB=arccos p, OAD=arccos q, OAA'=arccos s. Условие arccos p+arccos q+arccos s=pi перепишем как arccos p+arccos q=pi-arccos s=arccos(-s). Беря косинус обеих частей, pq-sqrt(1-p^2)sqrt(1-q^2)=-s, то есть sqrt(1-p^2)sqrt(1-q^2)=pq+s. Возводя в квадрат и используя s^2=1-p^2-q^2, получаем (1-p^2)(1-q^2)=(pq+s)^2 -2pqs=0 pqs=0. Так как для точки сечения x_0=at, y_0=bt обращаются в нуль одновременно (при t=0 точка попала бы на ребро AA', и тогда AO направлен по z, а радиус касания к грани y=0 был бы нулевым — вырождение), остаётся единственная содержательная возможность s=0, то есть z_0=0. Геометрически это означает, что O лежит в плоскости основания z=0, на диагонали AC: O=(at,bt,0). Проверка: при z_0=0 имеем OAA'=90^, а OAB+ OAD=arccos p+arccos q=90^ автоматически (поскольку p^2+q^2=1), так что сумма равна 180^. Условие выполнено для любой такой точки. **Условия на сферу.** Пусть радиус сферы равен R. Так как z_0=0: - расстояние от O до плоскости A'B'C' (z=c) равно c; касание даёт R=c; - расстояние от O до плоскости AA'B (y=0) равно y_0=bt; касание даёт R=bt; - расстояние от O до плоскости AA'D (x=0) равно x_0=at; отсутствие общих точек со сферой требует at>R. Из равенства радиусов касания bt=c находим t=(c)/(b), откуда искомое расстояние =at=(ac)/(b), R=c. Условие «O внутри сечения» даёт t=(c)/(b)<= 1, а условие «нет общих точек с AA'D» даёт at>c, то есть (a)/(b)>1, значит a>b. **Определение размеров.** Перебираем все назначения чисел 2,6,9 рёбрам (a,b,c)=(AB,AD,AA') и оставляем те, где одновременно t=(c)/(b)<= 1 и (ac)/(b)>c: | AB=a | AD=b | AA'=c | t=c/b | R=c | =ac/b | t1 | >R | |---|---|---|---|---|---|---|---| | 2 | 6 | 9 | 3/2 | 9 | 3 | нет | нет | | 2 | 9 | 6 | 2/3 | 6 | 4/3 | да | нет | | 6 | 2 | 9 | 9/2 | 9 | 27 | нет | да | | 6 | 9 | 2 | 2/9 | 2 | 4/3 | да | нет | | 9 | 2 | 6 | 3 | 6 | 27 | нет | да | | 9 | 6 | 2 | 1/3 | 2 | 3 | да | да | Всем условиям удовлетворяет единственное назначение: AB=9, AD=6, AA'=2. При нём t=(1)/(3), O=(3,2,0), R=c=2, =(a c)/(b)=(9* 2)/(6)=3. Проверим всё прямо: расстояние до A'B'C' (z=2) равно 2=R (касание); расстояние до AA'B (y=0) равно 2=R (касание); расстояние до AA'D (x=0) равно 3>2=R (общих точек нет). Сумма углов: arccos(3)/(sqrt(13))+arccos(2)/(sqrt(13))+90^=33,69^+56,31^+90^=180^. **Ответ.** Расстояние от точки O до плоскости AA'D равно 3.

\(3\)