Задача №18232

Найти все значения $\alpha \text{,}$ при каждом из которых расстояние между любыми двумя соседними корнями уравнения

$$\cos \alpha \cos 3x-\sin 3\alpha \cos x+2\sin 2\alpha \cos 2x=3\sin \alpha -\cos 3x$$

не превосходит $\frac{\pi }{3}\text{.}$

Требуется найти все $\alpha \text{,}$ при которых множество корней уравнения

$$\cos \alpha \cos 3x-\sin 3\alpha \cos x+2\sin 2\alpha \cos 2x=3\sin \alpha -\cos 3x$$

устроено так, что расстояние между любыми двумя соседними корнями не превосходит $\frac{\pi }{3}\text{.}$

Шаг 1. Приведение к многочлену от $\cos x\text{.}$

Перенесём всё в левую часть:

$$(\cos \alpha +1)\cos 3x-\sin 3\alpha \cos x+2\sin 2\alpha \cos 2x-3\sin \alpha =0.$$

Подставим формулы кратных углов $\cos 3x=4{\cos }^{3}x-3\cos x\text{,}$ $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1\text{,}$ $\sin 3\alpha =3\sin \alpha -4{\sin }^3\alpha \text{,}$ $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha \text{.}$ Обозначив $c=\cos x\text{,}$ после группировки получаем тождественно равную запись

$$(1+\cos \alpha )(4c^3-3c)+\sin \alpha (8\cos \alpha c^2+(4{\sin }^2\alpha -3)c-4\cos \alpha -3)=0.$$

Это многочлен по $c$ степени не выше третьей; его коэффициенты:

$$a_3=4(\cos \alpha +1),a_2=4\sin 2\alpha ,a_1=4{\sin }^3\alpha -3\sin \alpha -3\cos \alpha -3,a_0=-(4\cos \alpha +3)\sin \alpha .$$

Шаг 2. Оценка числа корней (общий случай $\cos \alpha \ne -1$).

Если $\cos \alpha \ne -1\text{,}$ то $a_3\ne 0$ и уравнение — кубическое по $c=\cos x\text{.}$ Кубическое уравнение имеет не более трёх корней $c\text{.}$ Каждому значению $c\in (-1,1)$ отвечают на периоде длины $2\pi$ ровно два значения $x$ (вида $\pm x_0+2\pi k$), а значениям $c=\pm 1$ — по одному. Поэтому на любом промежутке длины $2\pi$ уравнение имеет не более $6$ корней.

Сумма всех зазоров между соседними корнями на периоде $2\pi$ равна $2\pi \text{.}$ Если зазоров не более шести и каждый не превосходит $\frac{\pi }{3}\text{,}$ то

$$2\pi =\sum (\text{зазоры})\le 6\cdot \frac{\pi }{3}=2\pi .$$

Равенство возможно лишь когда корней ровно шесть и все зазоры равны в точности $\frac{\pi }{3}\text{.}$ Значит корни образуют арифметическую прогрессию $x=x_0+\frac{\pi }{3}k\text{.}$

Шаг 3. Когда шесть равноотстоящих корней совместимы с кубикой?

Шесть точек $x_0+\frac{\pi }{3}k$ ($k=0,\dots ,5$) дают шесть значений $\cos x\text{.}$ Но они обязаны совпадать с корнями кубического уравнения по $c\text{,}$ которых не более трёх. Значит среди шести косинусов должно быть не более трёх различных значений. Точки разбиваются на пары $x_0+\frac{\pi }{3}k$ и $x_0+\frac{\pi }{3}k+\pi \text{,}$ косинусы которых отличаются знаком; поэтому в общем положении получаются шесть различных значений. Слияние до трёх значений (набор, замкнутый относительно смены знака) происходит лишь когда среди косинусов есть нуль, то есть когда узлы прогрессии — это в точности нули $\cos 3x\text{:}$ $x=\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{3}k\text{,}$ а соответствующий набор косинусов есть $\left\{-\frac{\sqrt{3}}{2},0,\frac{\sqrt{3}}{2}\right\}\text{,}$ то есть корни уравнения $4c^3-3c=0\text{,}$ равносильного $\cos 3x=0\text{.}$

Итак, условие выполнимо только если исходное уравнение пропорционально $\cos 3x\text{,}$ то есть $4c^3-3c\text{.}$ Это требует

$$a_2=0,a_0=0,a_1=-\frac{3}{4}{a}_3.$$

Из $a_2=4\sin 2\alpha =0$ имеем $\alpha =\frac{\pi m}{2}\text{;}$ из $a_0=-(4\cos \alpha +3)\sin \alpha =0$ получаем $\sin \alpha =0$ (значение $\cos \alpha =-\frac{3}{4}$ при $\alpha =\frac{\pi m}{2}$ не достигается), то есть $\alpha =\pi n\text{.}$ Среди них пропорциональность $a_1=-\frac{3}{4}{a}_3$ выполнена. При $\alpha =2\pi k$ ($\cos \alpha =1,\sin \alpha =0$) уравнение превращается в

$$2(4{\cos }^{3}x-3\cos x)=2\cos 3x=0⟺\cos 3x=0,$$ $$3x=\frac{\pi }{2}+\pi k⟹x=\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{3}k,$$

и соседние корни отстоят ровно на $\frac{\pi }{3}\text{.}$ Так как в условии стоит нестрогое неравенство $\le \frac{\pi }{3}\text{,}$ равенство допускается — эти $\alpha$ подходят.

Шаг 4. Вырожденный случай $\cos \alpha =-1\text{,}$ то есть $\alpha =\pi +2\pi k\text{.}$

Тогда $\sin \alpha =0\text{,}$ $\sin 2\alpha =0\text{,}$ $\sin 3\alpha =0\text{,}$ и уравнение принимает вид

$$-\cos 3x=-\cos 3x,$$

то есть превращается в тождество: его решением является любое действительное $x\text{.}$ Множество корней — вся прямая, «соседних» корней с положительным расстоянием нет, расстояние между корнями равно нулю и заведомо не превосходит $\frac{\pi }{3}\text{.}$ Поэтому такие $\alpha$ также подходят.

Шаг 5. Сборка ответа.

Случаи $\alpha =2\pi k$ (Шаг 3) и $\alpha =\pi +2\pi k$ (Шаг 4) вместе дают $\alpha =\pi n,n\in \mathbb{Z}\text{.}$ Все остальные $\alpha$ дают на периоде не более шести корней с хотя бы одним зазором, строго большим $\frac{\pi }{3}$ (а при $\cos \alpha$ близком к $1\text{,}$ но $\sin \alpha \ne 0\text{,}$ уже малое отклонение $\alpha$ от $\pi n$ разрушает равенство зазоров и максимальный зазор становится строго больше $\frac{\pi }{3}$).

Ответ. $\boxed{\alpha =\pi n,n\in \mathbb{Z}}$