Найти все значения alpha, при каждом из которых расстояние между любыми двумя соседними корнями уравнения 3x-sin 3alphacos x+2sin 2alphacos 2x=3-cos 3x не превосходит (pi)/(3).

Требуется найти все alpha, при которых множество корней уравнения 3x-sin 3alphacos x+2sin 2alphacos 2x=3-cos 3x устроено так, что расстояние между любыми двумя соседними корнями не превосходит (pi)/(3). **Шаг 1. Приведение к многочлену от cos x.** Перенесём всё в левую часть: (+1)cos 3x-sin 3alphacos x+2sin 2alphacos 2x-3=0. Подставим формулы кратных углов cos 3x=4cos^3 x-3cos x, cos 2x=2cos^2 x-1, sin 3alpha=3-4sin^3alpha, sin 2alpha=2. Обозначив c=cos x, после группировки получаем тождественно равную запись (1+)(4c^3-3c)+(8cos^2+(4sin^2alpha-3)c-4-3)=0. Это многочлен по c степени не выше третьей; его коэффициенты: a_3=4(+1), a_2=4sin 2alpha, a_1=4sin^3alpha-3-3-3, a_0=-(4+3). **Шаг 2. Оценка числа корней (общий случай != -1).** Если !=-1, то a_3!= 0 и уравнение — кубическое по c=cos x. Кубическое уравнение имеет не более трёх корней c. Каждому значению cin(-1,1) отвечают на периоде длины 2pi ровно два значения x (вида +- x_0+2pi k), а значениям c=+-1 — по одному. Поэтому на любом промежутке длины 2pi уравнение имеет **не более 6 корней**. Сумма всех зазоров между соседними корнями на периоде 2pi равна 2pi. Если зазоров не более шести и каждый не превосходит (pi)/(3), то 2pi=(зазоры)<= 6*(pi)/(3)=2pi. Равенство возможно лишь когда корней ровно шесть и **все** зазоры равны в точности (pi)/(3). Значит корни образуют арифметическую прогрессию x=x_0+(pi)/(3)k. **Шаг 3. Когда шесть равноотстоящих корней совместимы с кубикой?** Шесть точек x_0+(pi)/(3)k (k=0,,5) дают шесть значений cos x. Но они обязаны совпадать с корнями кубического уравнения по c, которых не более трёх. Значит среди шести косинусов должно быть **не более трёх различных** значений. Точки разбиваются на пары x_0+(pi)/(3)k и x_0+(pi)/(3)k+pi, косинусы которых отличаются знаком; поэтому в общем положении получаются шесть различных значений. Слияние до трёх значений (набор, замкнутый относительно смены знака) происходит лишь когда среди косинусов есть нуль, то есть когда узлы прогрессии — это в точности нули cos 3x: x=(pi)/(6)+(pi)/(3)k, а соответствующий набор косинусов есть -(3)/(2),0,(3)/(2), то есть корни уравнения 4c^3-3c=0, равносильного cos 3x=0. Итак, условие выполнимо только если исходное уравнение пропорционально cos 3x, то есть 4c^3-3c. Это требует a_2=0, a_0=0, a_1=-(3)/(4)a_3. Из a_2=4sin 2alpha=0 имеем alpha=(pi m)/(2); из a_0=-(4+3)=0 получаем =0 (значение =-34 при alpha=(pi m)/(2) не достигается), то есть alpha=pi n. Среди них пропорциональность a_1=-34 a_3 выполнена. При alpha=2pi k (=1, =0) уравнение превращается в 2(4cos^3x-3cos x)=2cos 3x=0 cos 3x=0, 3x=(pi)/(2)+pi k x=(pi)/(6)+(pi)/(3)k, и соседние корни отстоят ровно на (pi)/(3). Так как в условии стоит нестрогое неравенство <=(pi)/(3), равенство допускается — эти alpha подходят. **Шаг 4. Вырожденный случай =-1, то есть alpha=pi+2pi k.** Тогда =0, sin 2alpha=0, sin 3alpha=0, и уравнение принимает вид -cos 3x=-cos 3x, то есть превращается в тождество: его решением является **любое** действительное x. Множество корней — вся прямая, «соседних» корней с положительным расстоянием нет, расстояние между корнями равно нулю и заведомо не превосходит (pi)/(3). Поэтому такие alpha также подходят. **Шаг 5. Сборка ответа.** Случаи alpha=2pi k (Шаг 3) и alpha=pi+2pi k (Шаг 4) вместе дают alpha=pi n, ninZ. Все остальные alpha дают на периоде не более шести корней с хотя бы одним зазором, строго большим (pi)/(3) (а при близком к 1, но 0, уже малое отклонение alpha от pi n разрушает равенство зазоров и максимальный зазор становится строго больше (pi)/(3)). **Ответ.** alpha=pi n, ninZ

\(\pi n,\ n\in\mathbb{Z}\)