Задача №20909

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AK\text{.}$ Найдите градусную меру угла $B\text{,}$ если $\angle C=25^{\circ }$ и $AK=CK\text{.}$

Рассмотрим треугольник $AKC\text{.}$ По условию $AK=CK\text{,}$ поэтому треугольник $AKC$ равнобедренный с основанием $AC\text{.}$ Углы при основании равны:

$$\angle CAK=\angle ACK.$$

Угол $\angle ACK$ — это угол $C$ треугольника $ABC\text{,}$ он равен $25^{\circ }\text{.}$ Значит, $\angle CAK=25^{\circ }\text{.}$

$AK$ — биссектриса угла $A\text{,}$ поэтому

$$\angle BAC=2\cdot \angle CAK=2\cdot 25^{\circ }=50^{\circ }.$$

Сумма углов треугольника $ABC$ равна $180^{\circ }\text{:}$

$$\angle B=180^{\circ }-\angle BAC-\angle C=180^{\circ }-50^{\circ }-25^{\circ }=105^{\circ }.$$

Ответ: $105\text{.}$