Задача №18776

Сторона равностороннего треугольника равна $10\sqrt{3}\text{.}$ Найдите биссектрису этого треугольника.

В равностороннем треугольнике биссектриса, проведённая из любой вершины, является также медианой и высотой.

Пусть сторона $a=10\sqrt{3}\text{,}$ биссектриса $AH$ проведена к стороне $BC\text{.}$ Тогда $H$ — середина $BC\text{,}$ значит

$$BH=\frac{a}{2}=\frac{10\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3},$$

и $AH\perp BC\text{.}$

Из прямоугольного треугольника $ABH$ по теореме Пифагора:

$$AH=\sqrt{A{B}^2-B{H}^2}=\sqrt{{\left(10\sqrt{3}\right)}^2-{\left(5\sqrt{3}\right)}^2}=\sqrt{300-75}=\sqrt{225}=15.$$

(Это же даёт стандартная формула высоты равностороннего треугольника $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{10\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{2}=15\text{.}$)

Ответ: 15.