Задача №19234

Сторона равностороннего треугольника равна $12\sqrt{3}\text{.}$ Найдите биссектрису этого треугольника.

В равностороннем треугольнике биссектриса, проведённая из любой вершины, является одновременно медианой и высотой.

Пусть сторона равна $a=12\sqrt{3}\text{.}$ Биссектриса $AH$ делит противоположную сторону пополам: $BH=\frac{a}{2}=6\sqrt{3}\text{,}$ и $AH\perp BC\text{.}$

Из прямоугольного треугольника $ABH$ по теореме Пифагора:

$$AH=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\sqrt{(12\sqrt{3}{)}^2-(6\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{432-108}=\sqrt{324}=18.$$

Проверка по формуле высоты равностороннего треугольника: $AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{12\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{36}{2}=18\text{.}$

Ответ: 18.