Задача №19921

Биссектриса равностороннего треугольника равна $11\sqrt{3}\text{.}$ Найдите сторону этого треугольника.

В равностороннем треугольнике биссектриса, проведённая из вершины, совпадает с высотой и медианой (это равнобедренный треугольник, где биссектриса угла при вершине является осью симметрии).

Высота равностороннего треугольника со стороной $a$ равна

$$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$

По условию $h=11\sqrt{3}\text{,}$ поэтому

$$\frac{a\sqrt{3}}{2}=11\sqrt{3}\Rightarrow \frac{a}{2}=11\Rightarrow a=22.$$

Проверка. Для $a=22$ биссектриса равна $\frac{22\sqrt{3}}{2}=11\sqrt{3}$ — совпадает с условием.

Ответ: 22.