Задача №20904

Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 42. Найдите высоту этой трапеции.

Окружность вписана в трапецию, значит она касается всех её сторон, в том числе обоих оснований.

Основания трапеции параллельны. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому расстояние от центра окружности до каждого из оснований равно радиусу $r=42\text{.}$

Центр лежит между основаниями, а оба радиуса, проведённые в точки касания с основаниями, перпендикулярны параллельным прямым, то есть лежат на одной прямой и образуют диаметр. Высота трапеции — это расстояние между основаниями, значит она равна диаметру вписанной окружности:

$$h=2r=2\cdot 42=84.$$

Проверка. Обратно: если высота трапеции равна 84, то середина отрезка, соединяющего точки касания оснований, удалена от каждого основания на $84:2=42\text{,}$ то есть радиус вписанной окружности равен 42 — совпадает с условием.

Ответ: 84.