Диагональ AC ромба ABCD равна 36, а tg BCA = (4)/(3). Найдите радиус окружности, вписанной в ромб. !Ромб ABCD с вписанной окружностью и проведённой диагональю AC

Пусть диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому OC = (AC)/(2) = (36)/(2) = 18, а треугольник BOC прямоугольный с прямым углом при вершине O. В прямоугольном треугольнике BOC: tg BCA = (OB)/(OC) = (4)/(3) =>OB = (4)/(3)* 18 = 24. По теореме Пифагора находим сторону ромба: BC = sqrt(OB^2 + OC^2) = sqrt(24^2 + 18^2) = sqrt(576 + 324) = sqrt(900) = 30. Центр вписанной окружности ромба — точка O пересечения диагоналей (она равноудалена от всех сторон), а радиус r равен расстоянию от O до стороны BC, то есть высоте OH прямоугольного треугольника BOC, проведённой к гипотенузе: r = OH = (OB * OC)/(BC) = (24 * 18)/(30) = 14,4. Ответ: 14,4.

14,4