Задача №19381

Диагональ $AC$ ромба $ABCD$ равна 36, а $\mathrm{tg}\angle BCA=\frac{4}{3}\text{.}$ Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Пусть диагонали ромба $ABCD$ пересекаются в точке $O\text{.}$ Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому $OC=\frac{AC}{2}=\frac{36}{2}=18\text{,}$ а треугольник $BOC$ прямоугольный с прямым углом при вершине $O\text{.}$

В прямоугольном треугольнике $BOC\text{:}$

$$\mathrm{tg}\angle BCA=\frac{OB}{OC}=\frac{4}{3}\Rightarrow OB=\frac{4}{3}\cdot 18=24.$$

По теореме Пифагора находим сторону ромба:

$$BC=\sqrt{O{B}^2+O{C}^2}=\sqrt{24^2+18^2}=\sqrt{576+324}=\sqrt{900}=30.$$

Центр вписанной окружности ромба — точка $O$ пересечения диагоналей (она равноудалена от всех сторон), а радиус $r$ равен расстоянию от $O$ до стороны $BC\text{,}$ то есть высоте $OH$ прямоугольного треугольника $BOC\text{,}$ проведённой к гипотенузе:

$$r=OH=\frac{OB\cdot OC}{BC}=\frac{24\cdot 18}{30}=14,4.$$

Ответ: $14,4\text{.}$