Задача №20898

Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром в точке $O\text{.}$ Точки $O$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB\text{.}$ Найдите угол $ACB\text{,}$ если угол $AOB$ равен $167^{\circ }\text{.}$ Ответ дайте в градусах.

Центральный угол $AOB$ равен дуге $AB\text{,}$ на которую он опирается. Так как $\angle AOB=167^{\circ }<180^{\circ }\text{,}$ это меньшая из двух дуг $AB\text{,}$ и она лежит по другую сторону от прямой $AB\text{,}$ чем центр $O\text{.}$

По условию точки $O$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB\text{,}$ значит вершина $C$ лежит на большей дуге $AB\text{,}$ а вписанный угол $ACB$ опирается на меньшую дугу $AB$ — ту самую, которой соответствует центральный угол $AOB\text{.}$

По теореме о вписанном угле вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу:

$$\angle ACB=\frac{1}{2}\angle AOB=\frac{167^{\circ }}{2}=83,5^{\circ }.$$

Проверка вторым способом. Возьмём на меньшей дуге $AB$ произвольную точку $D\text{.}$ Четырёхугольник $ADBC$ вписан в окружность, поэтому его противоположные углы в сумме дают $180^{\circ }\text{:}$

$$\angle ACB+\angle ADB=180^{\circ }.$$

Угол $ADB$ опирается на большую дугу $AB\text{,}$ равную $360^{\circ }-167^{\circ }=193^{\circ }\text{,}$ значит

$$\angle ADB=\frac{193^{\circ }}{2}=96,5^{\circ },$$

откуда

$$\angle ACB=180^{\circ }-96,5^{\circ }=83,5^{\circ }.$$

Оба способа дают один и тот же результат.

Ответ: $83,5\text{.}$