Задача №20838

Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром в точке $O\text{.}$ Точки $O$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB\text{.}$ Найдите угол $ACB\text{,}$ если угол $AOB$ равен $27^{\circ }\text{.}$ Ответ дайте в градусах.

Центральный угол $AOB$ опирается на меньшую дугу $AB$ и равен её градусной мере: $⌣AB=27^{\circ }\text{.}$

Точки $O$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB\text{,}$ значит вершина $C$ лежит на большей дуге $AB\text{.}$ Тогда вписанный угол $ACB$ опирается на ту дугу $AB\text{,}$ которая не содержит точку $C\text{,}$ то есть на ту же меньшую дугу, что и центральный угол $AOB\text{.}$

По теореме о вписанном угле вписанный угол вдвое меньше центрального, опирающегося на ту же дугу:

$$\angle ACB=\frac{1}{2}\angle AOB=\frac{27^{\circ }}{2}=13,5^{\circ }.$$

Проверка (через угол между касательной и хордой). Треугольник $AOB$ равнобедренный, так как $OA=OB=R\text{,}$ поэтому

$$\angle OAB=\angle OBA=\frac{180^{\circ }-27^{\circ }}{2}=76,5^{\circ }.$$

Касательная к окружности в точке $A$ перпендикулярна радиусу $OA\text{,}$ значит угол между этой касательной и хордой $AB$ (со стороны меньшей дуги) равен $90^{\circ }-76,5^{\circ }=13,5^{\circ }\text{.}$ Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду из другой дуги, — то есть углу $ACB\text{.}$ Получили те же $13,5^{\circ }\text{.}$

Замечание: если бы точки $O$ и $C$ лежали по разные стороны от прямой $AB\text{,}$ вершина $C$ попала бы на меньшую дугу и угол $ACB$ был бы тупым: $\frac{360^{\circ }-27^{\circ }}{2}=166,5^{\circ }\text{.}$ По условию и по рисунку это не наш случай.

Ответ: $13,5\text{.}$