Задача №19783

В окружности с центром в точке $O$ отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры. Угол $AOD$ равен $148^{\circ }\text{.}$ Найдите угол $ACB\text{.}$ Ответ дайте в градусах.

Точки $B\text{,}$ $O\text{,}$ $D$ лежат на одной прямой, так как $BD$ — диаметр. Значит, углы $AOB$ и $AOD$ смежные:

$$\angle AOB=180^{\circ }-\angle AOD=180^{\circ }-148^{\circ }=32^{\circ }.$$

Угол $AOB$ — центральный, он опирается на дугу $AB\text{.}$ Угол $ACB$ — вписанный и опирается на ту же дугу $AB\text{.}$ По теореме о вписанном угле он равен половине центрального:

$$\angle ACB=\frac{1}{2}\angle AOB=\frac{32^{\circ }}{2}=16^{\circ }.$$

Ответ: $16\text{.}$