Задача №19237

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $54^{\circ }\text{,}$ угол $CAD$ равен $41^{\circ }\text{.}$ Найдите угол $ABD\text{.}$ Ответ дайте в градусах.

Проведём диагональ $BD\text{.}$ Она делит угол $ABC$ на два угла:

$$\angle ABC=\angle ABD+\angle DBC.$$

Вписанные углы $\angle DBC$ и $\angle DAC$ опираются на одну и ту же дугу $DC$ (точки $A$ и $B$ лежат по одну сторону от хорды $DC$), поэтому они равны:

$$\angle DBC=\angle DAC=41^{\circ }.$$

Отсюда

$$\angle ABD=\angle ABC-\angle DBC=54^{\circ }-41^{\circ }=13^{\circ }.$$

Ответ: $13\text{.}$