Задача №20891

Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC\text{,}$ вписанной в окружность, равен $81^{\circ }\text{.}$ Найдите угол $C$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Трапеция $ABCD$ вписана в окружность, то есть около неё описана окружность. Основания трапеции параллельны: $BC\parallel AD\text{.}$ Углы $A$ и $C$ — противоположные углы четырёхугольника.

Способ 1 (свойство вписанного четырёхугольника).

В любом вписанном в окружность четырёхугольнике суммы противоположных углов равны $180^{\circ }\text{,}$ поэтому

$$\angle A+\angle C=180^{\circ }⟹\angle C=180^{\circ }-81^{\circ }=99^{\circ }.$$

Способ 2 (через равнобедренность и односторонние углы — проверка).

Трапеция, вписанная в окружность, обязательно равнобедренная, значит углы при большем основании $AD$ равны: $\angle A=\angle D=81^{\circ }\text{.}$

Боковая сторона $CD$ — секущая для параллельных прямых $BC$ и $AD\text{,}$ поэтому углы $C$ и $D$ — односторонние и в сумме дают $180^{\circ }\text{:}$

$$\angle C=180^{\circ }-\angle D=180^{\circ }-81^{\circ }=99^{\circ }.$$

Оба способа дают один и тот же результат. Контроль: сумма углов четырёхугольника $81^{\circ }+99^{\circ }+99^{\circ }+81^{\circ }=360^{\circ }$ — верно.

Ответ: $99\text{.}$