Задача №19352

В окружность с центром в точке $O$ вписан равносторонний треугольник. Расстояние от точки $O$ до сторон треугольника равно $\frac{3\sqrt{3}}{2}\text{.}$ Найдите сторону треугольника.

В равностороннем треугольнике центр описанной окружности совпадает с центром вписанной, поэтому расстояние от точки $O$ до каждой стороны — это радиус вписанной окружности: $r=\frac{3\sqrt{3}}{2}\text{.}$

Пусть сторона треугольника равна $a\text{.}$ Высота равностороннего треугольника $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\text{,}$ а центр делит её в отношении $2:1$ от вершины, значит

$$r=\frac{1}{3}h=\frac{a\sqrt{3}}{6}.$$

Отсюда

$$\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{3\sqrt{3}}{2}⟹a=\frac{6}{\sqrt{3}}\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}=9.$$

Ответ: 9.