Задача №20886

Острый угол ромба равен $40^{\circ }\text{.}$ Сколько градусов составляет угол между стороной и меньшей диагональю ромба?

Пусть $ABCD$ — ромб с острым углом $\angle A=40^{\circ }\text{.}$ Меньшая диагональ ромба соединяет вершины тупых углов и лежит против острого угла, то есть меньшая диагональ — это $BD\text{.}$

Способ 1 (равнобедренный треугольник).

Все стороны ромба равны, поэтому треугольник $ABD$ равнобедренный: $AB=AD\text{.}$ Угол при его вершине $A$ равен острому углу ромба, то есть $40^{\circ }\text{.}$ Углы при основании равнобедренного треугольника равны, значит

$$\angle ABD=\angle ADB=\frac{180^{\circ }-40^{\circ }}{2}=\frac{140^{\circ }}{2}=70^{\circ }.$$

Это и есть угол между стороной ромба и его меньшей диагональю.

Способ 2 (через точку пересечения диагоналей) — проверка.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей. Большая диагональ $AC$ делит угол $A$ пополам:

$$\angle OAB=\frac{40^{\circ }}{2}=20^{\circ }.$$

В прямоугольном треугольнике $AOB$ ($\angle AOB=90^{\circ }$) второй острый угол равен

$$\angle ABO=90^{\circ }-20^{\circ }=70^{\circ },$$

а луч $BO$ лежит на меньшей диагонали $BD\text{.}$ Оба способа дали один и тот же результат: $70^{\circ }\text{.}$

Ответ: $70\text{.}$