Задача №19192

Диагональ $AC$ ромба $ABCD$ равна 20, а $\mathrm{tg}\angle BCA=0,6\text{.}$ Найдите площадь ромба.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения $O$ делятся пополам.

По условию $AC=20\text{,}$ значит $OC=\frac{AC}{2}=10\text{.}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BOC$ ($\angle BOC=90^{\circ }$). Угол $BCA$ — это угол при вершине $C\text{,}$ поэтому

$$\mathrm{tg}\angle BCA=\frac{BO}{OC}.$$

Отсюда $BO=OC\cdot \mathrm{tg}\angle BCA=10\cdot 0,6=6\text{,}$ а вся диагональ $BD=2\cdot BO=12\text{.}$

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:

$$S=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}\cdot 20\cdot 12=120.$$

Ответ: 120.