Задача №20457

Обозначим ромб $ABCD\text{,}$ $O$ — точка пересечения диагоналей. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов.

Пусть $OH$ — перпендикуляр, опущенный из $O$ на сторону $AB$ ($H\in AB$). По условию $OH$ образует с диагональю угол $40^{\circ }\text{.}$

Прямая $OH$ пересекает две взаимно перпендикулярные диагонали, поэтому углы, которые она образует с ними, дополняют друг друга до $90^{\circ }\text{:}$ это $40^{\circ }$ и $50^{\circ }\text{.}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOH$ ($\angle AHO=90^{\circ }$). Диагональ $AC$ делит острый угол $A$ ромба пополам, поэтому $\angle OAH=\frac{\angle A}{2}\text{.}$ Тогда

Поскольку диагонали перпендикулярны ($\angle AOB=90^{\circ }$), угол между $OH$ и второй диагональю $BD$ равен

Значит, углы, образуемые перпендикуляром с диагоналями, равны половинам углов ромба: половине острого и половине тупого. Меньший из них ($40^{\circ }$) — половина острого угла:

Проверка: тупой угол $=180^{\circ }-80^{\circ }=100^{\circ }\text{,}$ его половина $50^{\circ }\text{,}$ и $40^{\circ }+50^{\circ }=90^{\circ }$ — согласуется.

Ответ: 80.