Задача №20885

Один из углов прямоугольной трапеции равен $139^{\circ }\text{.}$ Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

В прямоугольной трапеции одна боковая сторона перпендикулярна основаниям, поэтому два угла при этой стороне прямые и равны $90^{\circ }\text{.}$

Пусть $ABCD$ — трапеция с основаниями $BC\parallel AD\text{,}$ причём $\angle A=\angle B=90^{\circ }\text{.}$ Данный угол $139^{\circ }$ прямым не является, значит это один из двух углов при наклонной боковой стороне $CD\text{.}$

Основания $BC$ и $AD$ параллельны, а $CD$ — секущая, поэтому $\angle C$ и $\angle D$ — внутренние односторонние углы, и их сумма равна $180^{\circ }\text{:}$

$$\angle C+\angle D=180^{\circ }\Rightarrow \angle D=180^{\circ }-139^{\circ }=41^{\circ }.$$

Итак, углы трапеции равны $90^{\circ },90^{\circ },139^{\circ },41^{\circ }\text{.}$ Наименьший из них — $41^{\circ }$ (он меньше $90^{\circ }$).

Проверка через сумму углов четырёхугольника. Сумма углов любого четырёхугольника равна $360^{\circ }\text{:}$

$$90^{\circ }+90^{\circ }+139^{\circ }+41^{\circ }=360^{\circ }.$$

Сумма сошлась, значит набор углов определён верно, и меньший угол трапеции равен $41^{\circ }\text{.}$

Ответ: $41\text{.}$