Задача №20824

Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол $45^{\circ }\text{.}$ Найдите высоту трапеции, если её основания равны 2 и 5.

Пусть $ABCD$ — равнобедренная трапеция с основаниями $BC=2$ и $AD=5$ и боковыми сторонами $AB=CD\text{.}$ По рисунку диагональ $AC$ образует с большим основанием $AD$ угол $45^{\circ }\text{.}$

Опустим высоты $BK$ и $CH$ на основание $AD\text{.}$ Тогда $BKHC$ — прямоугольник, значит $KH=BC=2\text{,}$ а прямоугольные треугольники $ABK$ и $DCH$ равны по гипотенузе и катету ($AB=CD\text{,}$ $BK=CH$). Отсюда

$$AK=HD=\frac{AD-BC}{2}=\frac{5-2}{2}=1,5.$$

Значит проекция диагонали $AC$ на основание равна

$$AH=AK+KH=1,5+2=3,5.$$

В прямоугольном треугольнике $ACH$ угол $CAH$ равен $45^{\circ }\text{,}$ поэтому третий угол тоже равен $45^{\circ }$ и треугольник равнобедренный. Следовательно, катеты равны:

$$CH=AH=3,5.$$

Высота трапеции равна $CH=3,5\text{.}$

Проверка координатным способом. Возьмём $A(0;0)\text{,}$ $D(5;0)\text{;}$ тогда из-за равнобедренности $B(1,5;h)$ и $C(3,5;h)\text{,}$ и действительно $BC=3,5-1,5=2\text{.}$ Диагональ $AC$ идёт из $(0;0)$ в $(3,5;h)\text{,}$ а угол $45^{\circ }$ с осью абсцисс даёт $h=3,5\text{.}$ Оба способа дают одно и то же значение.

Ответ: 3,5.