Задача №18715

Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол $45^{\circ }\text{.}$ Найдите высоту трапеции, если её основания равны 4 и 7.

Пусть $ABCD$ — равнобедренная трапеция с основаниями $AD=7$ и $BC=4\text{,}$ а диагональ $AC$ образует с основанием $AD$ угол $\angle CAD=45^{\circ }\text{.}$

Опустим из вершин $B$ и $C$ высоты $BH$ и $CK$ на большее основание $AD\text{.}$ Трапеция равнобедренная, поэтому $AH=KD=\frac{AD-BC}{2}=\frac{7-4}{2}=1,5\text{,}$ а $HK=BC=4\text{.}$

Тогда проекция диагонали $AC$ на основание равна

$$AK=AH+HK=1,5+4=5,5=\frac{AD+BC}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $ACK$ ($\angle AKC=90^{\circ }$) имеем

$$CK=AK\cdot \tan 45^{\circ }=5,5\cdot 1=5,5.$$

Высота трапеции равна $CK=5,5\text{.}$

Ответ: $5,5\text{.}$