Задача №20880

Центр окружности, описанной около квадрата, совпадает с точкой пересечения его диагоналей: диагонали квадрата равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому все четыре вершины равноудалены от этой точки. Значит, радиус описанной окружности равен половине диагонали.

Найдём диагональ квадрата со стороной $a=16\sqrt{2}$ по теореме Пифагора:

Тогда

Проверка: если $R=16\text{,}$ то диагональ $d=2R=32\text{,}$ а сторона квадрата $a=\frac{d}{\sqrt{2}}=\frac{32}{\sqrt{2}}=16\sqrt{2}$ — совпадает с условием.

Ответ: $16\text{.}$