Задача №19308

Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 0,8. Диаметр описанной около него окружности равен 10. Найдите площадь прямоугольника.

Пусть $ABCD$ — прямоугольник, вписанный в окружность, $AC$ — его диагональ.

Шаг 1. Диагональ равна диаметру. Угол $ABC$ прямой, значит он вписанный и опирается на диаметр. Следовательно, диагональ $AC$ — диаметр описанной окружности: $AC=10\text{.}$

Шаг 2. Стороны через синус и косинус. Пусть $\alpha$ — угол между стороной $AB$ и диагональю $AC\text{,}$ $\sin \alpha =0,8\text{.}$ В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle B=90^{\circ }$):

$$BC=AC\cdot \sin \alpha =10\cdot 0,8=8.$$

По основному тригонометрическому тождеству $\cos \alpha =\sqrt{1-0,8^2}=\sqrt{0,36}=0,6$ (угол острый), поэтому

$$AB=AC\cdot \cos \alpha =10\cdot 0,6=6.$$

Шаг 3. Площадь.

$$S=AB\cdot BC=6\cdot 8=48.$$

Ответ: 48.