Задача №19523

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $132^{\circ }\text{,}$ угол $CAD$ равен $80^{\circ }\text{.}$ Найдите угол $ABD\text{.}$ Ответ дайте в градусах.

Шаг 1. Противоположные углы вписанного четырёхугольника.

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, значит сумма его противоположных углов равна $180^{\circ }\text{:}$

$$\angle ABC+\angle ADC=180^{\circ }\Rightarrow \angle ADC=180^{\circ }-132^{\circ }=48^{\circ }.$$

Шаг 2. Треугольник $ACD\text{.}$

В треугольнике $ACD$ известны два угла: $\angle CAD=80^{\circ }$ и $\angle ADC=48^{\circ }\text{.}$ Тогда

$$\angle ACD=180^{\circ }-80^{\circ }-48^{\circ }=52^{\circ }.$$

Шаг 3. Вписанные углы на одну дугу.

Углы $\angle ABD$ и $\angle ACD$ — вписанные, они опираются на одну и ту же дугу $AD$ (точки $B$ и $C$ лежат по одну сторону от хорды $AD$), поэтому они равны:

$$\angle ABD=\angle ACD=52^{\circ }.$$

Ответ: $52\text{.}$