Задача №18965

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $120^{\circ }\text{,}$ $AB=18\sqrt{3}\text{.}$ Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Треугольник $ABC$ вписан в окружность, значит эта окружность описана около него.

По теореме синусов сторона треугольника относится к синусу противолежащего угла как диаметр описанной окружности:

$$\frac{AB}{\sin C}=2R.$$

Угол $C$ тупой: $\sin 120^{\circ }=\sin (180^{\circ }-120^{\circ })=\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{.}$

Отсюда

$$2R=\frac{18\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=18\sqrt{3}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}=36,$$

значит $R=18\text{.}$

Ответ: $18\text{.}$