Задача №20876

Сторона квадрата равна $18\sqrt{2}\text{.}$ Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Центр окружности, описанной около квадрата, совпадает с точкой пересечения его диагоналей, а сама окружность проходит через все четыре вершины. Значит, диаметр описанной окружности равен диагонали квадрата:

$$2R=d.$$

Пусть сторона квадрата равна $a=18\sqrt{2}\text{.}$ По теореме Пифагора диагональ квадрата равна

$$d=a\sqrt{2}=18\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=18\cdot 2=36.$$

Следовательно,

$$R=\frac{d}{2}=\frac{36}{2}=18.$$

Проверка вторым способом. Сторона правильного $n$-угольника выражается через радиус описанной окружности формулой $a_n=2R\sin \frac{180^{\circ }}{n}\text{.}$ Для квадрата ($n=4$)

$$a_4=2R\sin 45^{\circ }=2R\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=R\sqrt{2}.$$

Подставим найденное $R=18\text{:}$ получаем $a_4=18\sqrt{2}$ — ровно та сторона, что дана в условии. Значит, радиус найден верно.

Ответ: 18.