!Равносторонний треугольник, вписанный в окружность Сторона равностороннего треугольника равна 18sqrt(3). Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Пусть ABC — равносторонний треугольник со стороной a=18sqrt(3), а O — центр описанной около него окружности. В равностороннем треугольнике центр описанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан (она же — точка пересечения высот и биссектрис). Проведём медиану AM к стороне BC; она же является высотой. Из прямоугольного треугольника ABM ( AMB=90^, BM=(a)/(2)) по теореме Пифагора: AM=sqrt(AB^2-BM^2)=sqrt(a^2-(a^2)/(4))=(asqrt(3))/(2). Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, поэтому R=OA=(2)/(3)AM=(2)/(3)*(asqrt(3))/(2)=(asqrt(3))/(3)=(a)/(sqrt(3)). Подставим a=18sqrt(3): R=(18sqrt(3))/(sqrt(3))=18. Ответ: 18.

18