Задача №18854

Сторона равностороннего треугольника равна $18\sqrt{3}\text{.}$ Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Пусть $ABC$ — равносторонний треугольник со стороной $a=18\sqrt{3}\text{,}$ а $O$ — центр описанной около него окружности.

В равностороннем треугольнике центр описанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан (она же — точка пересечения высот и биссектрис). Проведём медиану $AM$ к стороне $BC\text{;}$ она же является высотой.

Из прямоугольного треугольника $ABM$ ($\angle AMB=90^{\circ }\text{,}$ $BM=\frac{a}{2}$) по теореме Пифагора:

$$AM=\sqrt{A{B}^2-B{M}^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$$

Медианы точкой пересечения делятся в отношении $2:1\text{,}$ считая от вершины, поэтому

$$R=OA=\frac{2}{3}AM=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{a}{\sqrt{3}}.$$

Подставим $a=18\sqrt{3}\text{:}$

$$R=\frac{18\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=18.$$

Ответ: $18\text{.}$