Решите систему уравнений cases2x^(2)+4y^(2)=24, 4x^(2)+8y^(2)=24x.cases

Задача №20870

Легко

Задача #20870

Системы уравнений•2 балла

Решите систему уравнений ${2 x^{2} + 4 y^{2} = 24, 4 x^{2} + 8 y^{2} = 24 x .$

Заметим, что левая часть второго уравнения ровно вдвое больше левой части первого:

4 x^{2} + 8 y^{2} = 2 (2 x^{2} + 4 y^{2}) .

Из первого уравнения $2 x^{2} + 4 y^{2} = 24,$ значит

4 x^{2} + 8 y^{2} = 2 \cdot 24 = 48.

Подставим это во второе уравнение:

24 x = 48, x = 2.

Теперь подставим $x = 2$ в первое уравнение:

2 \cdot 2^{2} + 4 y^{2} = 24, 8 + 4 y^{2} = 24, 4 y^{2} = 16, y^{2} = 4,

откуда $y = - 2$ или $y = 2 .$

Проверка. При $x = 2,$ $y = \pm 2 :$ первое уравнение $2 \cdot 4 + 4 \cdot 4 = 8 + 16 = 24$ — верно; второе уравнение $4 \cdot 4 + 8 \cdot 4 = 16 + 32 = 48$ и $24 x = 24 \cdot 2 = 48$ — верно. Обе пары являются решениями.