Задача №20867

Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности, $AB=8\text{,}$ $BC=20\text{,}$ $CD=17\text{.}$ Найдите $AD\text{.}$

Если четырёхугольник описан около окружности, то суммы его противоположных сторон равны:

$$AB+CD=BC+AD.$$

Подставим известные значения:

$$8+17=20+AD,$$

откуда

$$AD=25-20=5.$$

Проверка (через отрезки касательных). Обозначим длины отрезков касательных, проведённых из вершин $A\text{,}$ $B\text{,}$ $C\text{,}$ $D\text{,}$ через $a\text{,}$ $b\text{,}$ $c\text{,}$ $d$ соответственно (отрезки касательных из одной точки равны). Тогда

$$AB=a+b=8,BC=b+c=20,CD=c+d=17,AD=d+a.$$

Сложим первое и третье равенства: $a+b+c+d=8+17=25\text{.}$ Значит

$$AD=d+a=(a+b+c+d)-(b+c)=25-20=5.$$

Суммы противоположных сторон: $8+17=25$ и $20+5=25$ — равны, условие выполняется.

Ответ: $5\text{.}$