Задача №20866

Угол $A$ четырёхугольника $ABCD\text{,}$ вписанного в окружность, равен $62^{\circ }\text{.}$ Найдите угол $C$ этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, поэтому суммы его противоположных углов равны $180^{\circ }\text{:}$

$$\angle A+\angle C=180^{\circ }.$$

Отсюда

$$\angle C=180^{\circ }-\angle A=180^{\circ }-62^{\circ }=118^{\circ }.$$

Проверка (через дуги). Вписанный угол $A$ опирается на дугу $BCD\text{,}$ значит $⌣BCD=2\cdot 62^{\circ }=124^{\circ }\text{.}$ Тогда оставшаяся дуга $BAD=360^{\circ }-124^{\circ }=236^{\circ }\text{,}$ а вписанный угол $C\text{,}$ опирающийся на неё, равен $\frac{236^{\circ }}{2}=118^{\circ }$ — совпадает.

Ответ: $118\text{.}$