Задача №19105

Пусть сторона равностороннего треугольника равна $a\text{,}$ а радиус описанной окружности $R=10\sqrt{3}\text{.}$

Все углы равностороннего треугольника равны $60^{\circ }\text{.}$ По теореме синусов для треугольника, вписанного в окружность радиуса $R\text{:}$

Отсюда

Подставляем $R=10\sqrt{3}\text{:}$

Проверка другим способом. В равностороннем треугольнике центр описанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан, которая делит медиану (она же высота $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$) в отношении $2:1$ от вершины. Значит $R=\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a}{\sqrt{3}}\text{,}$ откуда $a=R\sqrt{3}=30\text{.}$

Ответ: 30.