!Равносторонний треугольник, вписанный в окружность Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен 10sqrt(3). Найдите длину стороны этого треугольника.

Пусть сторона равностороннего треугольника равна a, а радиус описанной окружности R = 10sqrt(3). Все углы равностороннего треугольника равны 60^. По теореме синусов для треугольника, вписанного в окружность радиуса R: (a)/(sin 60^) = 2R. Отсюда a = 2Rsin 60^ = 2R*(sqrt(3))/(2) = Rsqrt(3). Подставляем R = 10sqrt(3): a = 10sqrt(3)*sqrt(3) = 10* 3 = 30. Проверка другим способом. В равностороннем треугольнике центр описанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан, которая делит медиану (она же высота h = (asqrt(3))/(2)) в отношении 2:1 от вершины. Значит R = (2)/(3)h = (2)/(3)*(asqrt(3))/(2) = (a)/(sqrt(3)), откуда a = Rsqrt(3) = 30. Ответ: 30.

30